Прямая пропорциональность и обратная пропорциональность

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — зависимость, которая задаётся формулой y = kx, где k — постоянное число. Для любого ненулевого x отношение y/x равно k, поэтому оно не меняется при переходе от одной пары значений к другой. Это свойство помогает узнать прямую пропорциональность по таблице и найти неизвестную величину. Если отношение оказалось разным, такая таблица этой зависимости не задаёт.

Число k в формуле y = kx называют коэффициентом прямой пропорциональности. Это постоянный множитель, на который умножают x, чтобы получить y. Коэффициент показывает, как быстро меняется y при изменении x: например, при k = 3 каждому увеличению x на 1 соответствует увеличение y на 3. Его знак определяет направление наклона прямой на графике.

Обратная пропорциональность — зависимость вида y = k/x, где k ≠ 0. В ней переменная x находится в знаменателе, а произведение соответствующих значений xy всегда равно одному и тому же числу k. Например, если x увеличивается, y уменьшается так, чтобы произведение не изменилось. Проверка постоянства произведения помогает отличить эту зависимость от прямой пропорциональности.

Число k в формуле y = k/x называют коэффициентом обратной пропорциональности; оно должно быть ненулевым. Его значение задаёт постоянное произведение xy, а знак помогает определить, где расположены ветви графика. При положительном k значения x и y имеют одинаковые знаки, при отрицательном — разные. Поэтому ветви оказываются в разных парах координатных четвертей.

Как это устроено

Чтобы проверить по таблице, есть ли прямая пропорциональность, раздели каждое значение y на соответствующее ненулевое x. Если во всех строках получается одно число, это число и есть коэффициент k. Такой способ работает потому, что из y = kx при делении на x получается y/x = k. Строку с x = 0 для этой проверки не используют, ведь делить на ноль нельзя.

График зависимости y = kx — прямая линия, потому что при равномерном изменении x значение y меняется равномерно: на каждую одинаковую прибавку к x приходится одинаковая прибавка или убавка к y. При x = 0 получается y = 0, поэтому линия обязательно проходит через начало координат. Если k положительно, при движении вправо по оси x линия поднимается; если k отрицательно — опускается. Коэффициент определяет её наклон: чем больше его модуль, тем круче линия.

Для проверки обратной пропорциональности умножь каждое x на соответствующее ему y. Если все произведения равны одному числу, зависимость можно записать как y = k/x, где это число — k. Причина в том, что умножение обеих частей формулы на x даёт xy = k. Одного совпавшего произведения недостаточно: проверять нужно все пары из таблицы.

График y = k/x состоит из двух отдельных ветвей. При x = 0 формула не имеет значения, поэтому на оси y точки графика быть не может; при y = 0 равенство тоже невозможно, так как k не равен нулю, — график не пересекает ось x. Ветви не соединяются через начало координат: там формула не определена. Если k положительно, x и y одного знака и ветви лежат в первой и третьей четвертях; если отрицательно — в разных знаковых сочетаниях, то есть во второй и четвёртой.

При прямой пропорциональности изменение x в несколько раз вызывает такое же изменение y: например, удвоение x удваивает y. Это следует из того, что y равно k, умноженному на x. При обратной пропорциональности действует противоположное правило: если x увеличили в несколько раз, y уменьшается во столько же раз. Так сохраняется произведение xy.

Сравнение прямой и обратной пропорциональности

Пользуйся таблицей, чтобы сравнить не только формулы, но и сохраняющуюся величину: отношение или произведение. По области определения легко проверить, допустимо ли заданное значение x. По знаку k можно заранее определить расположение графика, не строя его целиком.

Разбор задач

Задача 1. Для зависимости y = 3x заполним таблицу при x = −2, 0, 1, 4 и проверим, является ли она прямой пропорциональностью. В формуле уже видно, что x умножается на одно и то же число 3. Но выполним подстановку, чтобы получить все пары значений и проверить, что происходит при нуле.

1. При x = −2: y = 3 · (−2) = −6.
2. При x = 0: y = 3 · 0 = 0. При x = 1: y = 3 · 1 = 3.
3. При x = 4: y = 3 · 4 = 12. Таблица: x — −2, 0, 1, 4; y — −6, 0, 3, 12. Формула имеет вид y = kx с k = 3, значит, зависимость прямая пропорциональность.

Задача 2. Даны пары (2; 6), (4; 12), (−1; −3). Проверим, задают ли они прямую пропорциональность, и найдём её коэффициент. Нельзя делать вывод по одной паре: один и тот же коэффициент должен подходить ко всем трём. Поэтому для каждой пары сравним отношение y/x.

1. Для пары (2; 6) получаем 6/2 = 3.
2. Для пары (4; 12) получаем 12/4 = 3, а для (−1; −3) — (−3)/(−1) = 3.
3. Все отношения одинаковы и равны 3. Значит, таблица задаёт прямую пропорциональность, а коэффициент k = 3. Общая формула зависимости — y = 3x.

Задача 3. Величины x и y обратно пропорциональны; при x = 3 значение y равно 8. Найдём y при x = 12 и координатные четверти графика. Сначала нужно определить постоянное произведение, иначе формула останется неизвестной. Затем подставим новое значение x и учтём знак коэффициента.

1. В обратной пропорциональности xy = k, поэтому k = 3 · 8 = 24.
2. Записываем формулу y = 24/x. При x = 12 получаем y = 24/12 = 2.
3. Коэффициент 24 положительный. Значит, x и y имеют одинаковые знаки, а ветви графика расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: в первой задаче значения y равны −6, 0, 3, 12; это прямая пропорциональность. Во второй задаче коэффициент равен 3. В третьей задаче y = 2, график расположен в первой и третьей четвертях.

Типичные ошибки

Формулу y = k/x иногда называют прямой пропорциональностью, потому что в ней есть коэффициент k. Но наличие коэффициента само по себе ничего не решает: в одной формуле x умножают на k, а в другой x делит k. Проверяй положение x: y = kx — прямая пропорциональность, y = k/x — обратная.

При обратной пропорциональности ошибочно следить за отношением y/x и считать, что оно должно сохраняться. Такое условие относится к прямой пропорциональности; здесь постоянным остаётся произведение xy. Чтобы проверить себя, перемножь значения каждой пары из таблицы: если произведения различаются, обратной пропорциональности нет.

Иногда в область определения y = k/x включают x = 0, будто формула работает для любого числа. Но при подстановке нуля знаменатель становится нулевым, а делить на ноль нельзя. Перед вычислением проверь знаменатель: если x = 0, значение функции не существует, поэтому эту точку не включают.

График y = k/x могут изобразить одной прямой или соединить его ветви через начало координат. Так происходит, если забыть, что при x = 0 функция не определена и график состоит из двух частей. Проверь также, что ни одна ветвь не пересекает оси: точки на осях означали бы x = 0 или y = 0, а оба случая невозможны.

Связь с другими темами

Для работы с пропорциональностями нужны навыки подстановки чисел в формулу, вычисления отношений и произведений, чтения координатной плоскости. Эти действия помогают проверять таблицы и понимать, как расположены графики. Если одно из них пока вызывает трудности, полезно сначала повторить его на простых числах.

Пропорциональности встречаются в задачах, где одна величина зависит от другой, и помогают находить неизвестные значения по известным. Прямая пропорциональность связана с масштабом и процентными расчётами: при неизменном масштабе расстояния изменяются одинаково. Обратная появляется в задачах о скорости, времени и расстоянии, если путь постоянен: чем выше скорость, тем меньше время в пути.

Изученные формулы описывают графики функций и подготавливают к дальнейшему изучению функций в следующих классах. Умение переходить от формулы к таблице и графику пригодится при исследовании других зависимостей. Важно каждый раз выяснять, какая величина сохраняется, — отношение или произведение.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx.
• При прямой пропорциональности отношение y/x постоянно.
• График y = kx — прямая через начало координат.
• Обратная пропорциональность задаётся формулой y = k/x, где k ≠ 0.
• При обратной пропорциональности произведение xy постоянно.
• График y = k/x не определён при x = 0 и не пересекает координатные оси.
• Знак коэффициента определяет, в каких четвертях расположены графики.