"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Прямая и обратная пропорциональность описывают, как меняются две связанные величины. Если одна величина увеличивается в несколько раз и другая тоже увеличивается во столько же раз, зависимость прямая; если одна растёт, а другая во столько же раз уменьшается — обратная. Эти модели помогают решать задачи на движение, приготовление еды и совместную работу. Главное — определить связь по смыслу условия, составить формулу и проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая пропорциональность — зависимость двух величин, которую записывают формулой y = kx. Здесь x — аргумент, то есть величина, значение которой выбирают или задают, а y зависит от x. При такой зависимости отношение y/x всегда одно и то же. Это правило помогает составлять формулу по данным задачи и находить значение одной величины по другой.
Число k в формуле y = kx называется коэффициентом пропорциональности. Оно показывает, сколько единиц y приходится на одну единицу x, поэтому его смысл определяется условием задачи. Например, если y — расстояние в километрах, а x — время в часах, то k может обозначать скорость в километрах в час. Чтобы найти k, известное значение y делят на соответствующее ему значение x.
Обратная пропорциональность — зависимость, задаваемая формулой y = k/x, где k — постоянное число. В этом случае произведение x · y равно k при любых подходящих значениях величин. Если x становится в несколько раз больше, y во столько же раз уменьшается. Такая формула нужна, например, когда неизменную работу выполняет разное число одинаковых работников.
Сначала выдели из условия величины, которые связаны между собой, и назови их. Одну удобно обозначить x, а другую — y; обычно x выбирают как исходную величину, а y — как ту, которую требуется найти. Такой выбор помогает записать зависимость формулой и не перепутать, какое число куда подставлять. Подпиши единицы: например, часы и километры или число насосов и часы.
Чтобы проверить, прямая ли зависимость, представь, что одна величина увеличилась в несколько раз, а остальные условия задачи не изменились. Если другая величина увеличивается во столько же раз, зависимость прямая: например, при постоянной скорости удвоение времени удваивает расстояние. Причина в том, что на каждую единицу времени приходится одно и то же расстояние. Поэтому отношение y/x остаётся неизменным.
При обратной зависимости увеличение одной величины в несколько раз приводит к уменьшению другой во столько же раз. Так бывает, если одну и ту же работу выполняют одинаковые насосы: чем их больше, тем меньше времени требуется на работу. Общее количество работы не меняется, поэтому сохраняется произведение числа насосов на время. Если такого смысла в условии нет, не следует объявлять зависимость обратной только по одному примеру чисел.
Найди коэффициент по паре известных значений. Для прямой зависимости вычисли k = y/x, а для обратной — k = xy; затем подставь найденное число в подходящую формулу. Например, если за 3 часа проехали 45 км, то скорость равна 45/3 = 15 км/ч, и расстояние выражается формулой s = 15t. Проверка на исходных данных показывает, подходит ли формула к условию.
Чтобы найти неизвестное, подставь известные значения в формулу и выполни нужные действия. В прямой зависимости умножают аргумент на k, а в обратной делят k на аргумент; можно также использовать равенство произведений. После вычисления назови ответ с правильной единицей измерения. Затем оцени, разумен ли результат: например, большее число одинаковых насосов не должно требовать больше времени.
| Что сравниваем | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Формула зависимости | y = kx | y = k/x |
| Постоянное отношение или произведение | Отношение y/x постоянно | Произведение xy постоянно |
| Что происходит при увеличении одной величины в несколько раз | Другая увеличивается во столько же раз | Другая уменьшается во столько же раз |
| Как найти коэффициент пропорциональности | k = y/x | k = xy |
| Пример зависимости в задаче | Время и расстояние при постоянной скорости | Число одинаковых насосов и время работы |
Сначала найди в таблице строку о том, как меняются величины, и сравни её со смыслом задачи. Затем проверь соответствующее постоянное отношение или произведение на известных данных. Таблица подсказывает формулу, но сама по себе не доказывает тип зависимости: это подтверждает условие.
Задача 1. За 3 часа велосипедист проехал 45 км с постоянной скоростью. Какое расстояние он проедет за 5 часов? При неизменной скорости расстояние растёт вместе со временем, поэтому зависимость прямая. Коэффициент k здесь означает скорость велосипедиста.
Ответ: 75 км.
Задача 2. Для приготовления 8 одинаковых порций требуется 600 г муки. Сколько муки потребуется для 14 таких порций? Чем больше одинаковых порций нужно приготовить, тем больше муки потребуется, если расход на порцию не меняется. Значит, количество порций и масса муки прямо пропорциональны.
Ответ: 1050 г муки.
Задача 3. Шесть одинаковых насосов наполняют резервуар за 10 часов. За сколько часов наполнят такой же резервуар 15 насосов той же производительности? Работа во всех случаях одна и та же, а насосы одинаковые, поэтому при увеличении их числа время уменьшается. Число насосов и время связаны обратной пропорциональностью.
Ответ: 4 часа.
Ошибка — считать зависимость прямой только потому, что обе величины в условии растут. Они могут расти одновременно, но не в одинаковое число раз, и тогда пропорциональности нет. Проверь постоянство отношения y/x и выясни, объясняется ли оно смыслом задачи. Например, связь времени и расстояния будет прямой лишь при постоянной скорости.
При обратной пропорциональности иногда составляют равенство отношений, как для прямой зависимости. Это меняет математическую модель: у обратной зависимости сохраняется произведение, а не отношение. Запиши для двух случаев x₁y₁ = x₂y₂ и проверь, что при увеличении x значение y уменьшается. Если полученный ответ растёт вместе с x, проверь составленное равенство.
Коэффициент находят делением величин в неподходящем порядке или подставляют данные не в ту формулу. Такая ошибка возникает, когда не определено, какая буква обозначает аргумент, и что именно показывает k. Для y = kx вычисляй k = y/x, а для y = k/x — k = xy. Подставь исходную пару значений обратно в формулу: равенство должно выполняться.
Не проверять единицы и смысл результата — значит не заметить, что вместо расстояния получилось время или ответ слишком велик. Ошибка часто появляется, если величины названы без единиц либо исходные данные измеряются в разных единицах. Подпиши единицу при каждом вычислении и сопоставь ответ с условием. Например, время наполнения при большем числе насосов не должно увеличиваться.
Для решения таких задач нужно уметь составлять буквенные выражения, подставлять числа в формулы и решать пропорции. При распознавании зависимости используются отношения и произведения величин, поэтому полезно уверенно выполнять действия с ними. Единицы измерения помогают правильно истолковать коэффициент и ответ. Позже эти знания пригодятся при изучении функций и графиков, а также в задачах на движение, работу и стоимость.
Как понять по условию задачи, что зависимость прямая?
Проверь, меняются ли величины в одном направлении и во сколько раз. При прямой пропорциональности увеличение одной величины в несколько раз увеличивает другую во столько же раз. Для любых подходящих значений отношение зависимой величины к аргументу остаётся постоянным.
Как отличить обратную пропорциональность от прямой?
При прямой пропорциональности обе величины меняются одинаково: например, больше времени при постоянной скорости — больше расстояние. При обратной пропорциональности одна величина растёт, а другая уменьшается во столько же раз. Тогда постоянным остаётся их произведение.
Что означает коэффициент пропорциональности в задаче?
Это постоянное число k в формуле зависимости. Его смысл определяется условием: например, в формуле расстояния s = vt коэффициент v показывает скорость, то есть расстояние за один час. Коэффициент находят по известной паре значений.
Как найти неизвестную величину при обратной пропорциональности?
Сначала запиши, что произведение связанных величин постоянно: x₁y₁ = x₂y₂. Подставь известные значения и найди неизвестное делением. Затем проверь, что при увеличении одной величины другая уменьшилась.
Почему при решении задачи важно проверять единицы измерения?
Единицы помогают понять, какую величину ты вычислил: например, расстояние измеряют в километрах, а время — в часах. Если единицы в данных разные, их может понадобиться привести к одинаковым. Проверка также помогает заметить неправдоподобный ответ.
Решение задач по теме: Прямая пропорциональность и обратная пропорциональность
