"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Пропорция — это равенство двух отношений, например a:b = c:d. Она помогает сравнивать пары величин и находить неизвестное значение, если известно, как величины связаны. Главное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. С его помощью можно проверить равенство, найти неизвестный член и составить решение задачи о рецепте, масштабе или изменении количества продуктов. При записи важно соблюдать порядок сравниваемых величин и следить, чтобы знаменатели отношений не были равны нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорция — это равенство двух отношений. Её записывают так: a:b = c:d, то есть отношение a к b равно отношению c к d; дробной записью это выглядит как a/b = c/d. Такая запись показывает, что две пары чисел сравниваются одинаковым способом. Понятие нужно, чтобы выражать равенство отношений и находить неизвестную величину.
Крайние члены пропорции — первый и последний члены записи a:b = c:d, то есть a и d. Они стоят по краям равенства, поэтому их удобно находить, если мысленно прочитать запись слева направо. Это название помогает не перепутать пары чисел при использовании основного свойства пропорции.
Средние члены пропорции — два члена между крайними в записи a:b = c:d, то есть b и c. Они расположены внутри записи, по одному в каждом отношении. Различение средних и крайних членов нужно, чтобы правильно составить произведения и проверить пропорцию.
Равенство отношений становится пропорцией, когда два способа сравнения дают один и тот же результат. Например, если a/b = c/d, то первая пара чисел относится друг к другу так же, как вторая пара. Поэтому пропорция не просто соединяет четыре числа: она сравнивает две пары величин, записанных в согласованном порядке. Если поменять порядок только в одном отношении, смысл сравнения изменится и равенство может нарушиться.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Для записи a:b = c:d это означает a · d = b · c. Причина в том, что равенство отношений можно записать как a/b = c/d, а затем умножить обе части на b · d; знаменатели при этом должны быть ненулевыми. После преобразования получаем ad = bc, что и позволяет работать с пропорцией без деления.
Чтобы найти неизвестный член, обозначь его буквой и используй равенство произведений. Например, если неизвестно a в пропорции a:b = c:d, получаем ad = bc, а затем решаем уравнение относительно a. Если неизвестное входит в произведение, его можно найти делением на известный множитель, который не равен нулю. Такой способ превращает задачу о пропорции в обычное уравнение.
Из верной пропорции можно получить другие верные записи. Если поменять местами левое и правое отношения, получится c:d = a:b; если обратить оба отношения, получится b:a = d:c. Можно также поменять местами средние или крайние члены: например, a:c = b:d или d:b = c:a, когда все нужные отношения определены. Равенство сохраняется потому, что в каждой новой записи произведение одной пары членов по-прежнему равно произведению другой.
Проверка пропорции сводится к сравнению произведений крайних и средних членов: для a:b = c:d нужно проверить, что ad = bc. Если произведения разные, равенства отношений нет; если совпали, пропорция верна при условии, что b и d не равны нулю. Это условие обязательно, потому что на ноль делить нельзя, а значит, соответствующее отношение не определено. Проверка произведений особенно удобна, когда отношения записаны дробями.
| Что рассматриваем | Запись или правило | Что важно проверить |
|---|---|---|
| Общий вид пропорции | a:b = c:d, или a/b = c/d | b ≠ 0 и d ≠ 0 |
| Крайние и средние члены | Крайние: a и d; средние: b и c | Определить члены по их месту в записи |
| Основное свойство пропорции | a · d = b · c | Крайние умножаются между собой, средние — между собой |
| Нахождение неизвестного члена | Составить уравнение ad = bc и решить его | Найденное значение не должно обращать знаменатель в ноль |
| Обращение и перестановка членов | c:d = a:b; b:a = d:c; a:c = b:d | Сохранять равенство и проверять, что отношения определены |
Сначала найди в записи крайние и средние члены, а затем выбери нужное правило из таблицы. Для проверки равенства используй произведения, а для поиска неизвестного — составь уравнение. Перед вычислениями убедись, что знаменатели отношений не равны нулю.
Задача. Проверить, является ли равенство 3:5 = 12:20 пропорцией. Сравним не сами числа, а значения отношений, используя основное свойство. В записи крайние члены — 3 и 20, а средние — 5 и 12.
Ответ: да, 3:5 = 12:20 — пропорция.
Задача. Найти x из пропорции x:6 = 4:8. Чтобы не подбирать значение наугад, обозначим крайние и средние члены и применим основное свойство. Здесь крайние члены — x и 8, средние — 6 и 4.
Ответ: x = 3.
Задача. Для рецепта на 4 порции требуется 300 г крупы. Сколько крупы нужно на 10 порций, если количество продукта меняется пропорционально числу порций? Сначала сопоставим порции с граммами в одном и том же порядке: порции к граммам. Пусть x — количество крупы для 10 порций.
Ответ: на 10 порций нужно 750 г крупы.
Крайние и средние члены иногда путают из-за того, что все числа стоят в одной строке. Тогда произведения составляют неверно. Перед вычислениями подпиши в записи a:b = c:d крайние a и d, а средние b и c; это помогает себя проверить.
Другая ошибка — перемножить крайние между собой и средние между собой, но не приравнять полученные произведения. Основное свойство говорит именно о равенстве этих двух результатов: ad = bc. Проверь, что в решении есть знак равенства между произведением крайних и произведением средних.
В текстовой задаче можно записать отношения в разном порядке, например порции к граммам в одном отношении, а граммы к порциям — в другом. Тогда сопоставляются не те величины, и пропорция не описывает условие. Перед записью подпиши обе пары единиц и расположи их одинаково; затем проверь, соответствует ли результат смыслу задачи.
Иногда при составлении или решении пропорции забывают, что знаменатель отношения не может быть равен нулю. При таком значении деление не определено, поэтому запись не является пропорцией. Проверь знаменатели в исходных отношениях и убедись, что найденное значение не делает один из них нулевым.
Для работы с пропорциями нужно знать, что такое отношение двух чисел и как его записывать. Также понадобятся действия с дробями и умение решать простые уравнения, потому что поиск неизвестного члена сводится к уравнению. Пропорции встречаются в задачах на масштаб и проценты, а также при описании пропорционального изменения величин. Позже они помогут изучать подобие фигур, когда сравниваются соответствующие стороны.
Как понять, является ли равенство пропорцией?
Проверь, определены ли оба отношения: их знаменатели не должны быть равны нулю. Затем перемножь крайние члены и отдельно средние. Если произведения равны, равенство является пропорцией.
Какие члены пропорции называются крайними, а какие средними?
В записи a:b = c:d крайние члены — первый и последний, то есть a и d. Средние — два числа между ними, b и c.
Почему в пропорции произведение крайних равно произведению средних?
Запись a:b = c:d означает, что дроби a/b и c/d равны. При умножении обеих частей равенства на b и d получается ad = bc, если знаменатели не равны нулю. Поэтому произведения крайних и средних членов совпадают.
Как найти неизвестный член пропорции?
Сначала отметь крайние и средние члены, затем приравняй их произведения. Подставь известные числа и реши получившееся уравнение. В конце проверь, что найденное значение не делает знаменатель равным нулю.
Как правильно составить пропорцию по условию задачи?
Запиши отношения величин в одинаковом порядке: например, число порций к количеству продукта в обеих парах. В неизвестном месте поставь переменную, а затем приравняй отношения. Проверь, что сравниваются соответствующие величины и единицы измерения согласованы.
Пропорции
