"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Пропорция помогает сравнивать величины и находить неизвестное значение, если между величинами сохраняется определённая связь. С её помощью решают задачи о цене и количестве товара, пути и времени, совместной работе и масштабе карты. Главное — сначала понять, прямая зависимость связывает величины или обратная, затем записать отношения в согласованном порядке. После этого неизвестное находят по основному свойству пропорции и проверяют, подходит ли ответ к условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорция — это равенство двух отношений, например a:b = c:d. Читают такую запись как «a относится к b так же, как c относится к d»; a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Это обозначение позволяет записать, как соотносятся значения величин в двух ситуациях. По записи можно найти неизвестное значение, если остальные члены известны.
Прямая пропорциональная зависимость — это связь, при которой увеличение одной величины в несколько раз во столько же раз увеличивает другую. Например, если цена за килограмм не меняется, то при покупке вдвое большей массы стоимость тоже станет вдвое больше. Такое понятие помогает понять, почему отношения соответствующих значений можно приравнять. Оно подходит, когда обе величины изменяются в одном направлении.
Обратная пропорциональная зависимость — это связь, при которой увеличение одной величины в несколько раз уменьшает другую во столько же раз. Например, если одинаковую работу выполняют вдвое больше работников с той же производительностью, времени понадобится вдвое меньше. Такое описание помогает не перепутать порядок величин в пропорции. Оно нужно для задач, где одна величина растёт, а другая одновременно убывает.
Масштаб — это отношение длины на изображении к соответствующей длине в действительности. Запись 1:200 000 означает, что каждому одному сантиметру на карте соответствуют 200 000 сантиметров на местности. Масштаб помогает перейти от расстояний на карте к настоящим расстояниям и обратно. Перед вычислением нужно выразить сравниваемые длины в одинаковых единицах.
Чтобы перевести условие задачи в отношения, сначала выпиши величины для каждой ситуации и сопоставь значения одного вида. Например, массу нужно сравнивать с массой, а стоимость — со стоимостью. Внутри каждого отношения соблюдай один и тот же порядок: если сверху или слева стоит первое значение, то в парном отношении там тоже должно стоять первое значение. Иначе сравниваться будут уже другие величины, и пропорция может дать неверный ответ.
Основное свойство пропорции объясняет, как найти неизвестный член: произведение крайних членов равно произведению средних. Если x:4 = 6:8, то крайние члены — x и 8, а средние — 4 и 6; значит, x · 8 = 4 · 6. Получается уравнение, которое решают обычными действиями: x = 24:8 = 3. После вычисления полезно подставить ответ в исходное равенство и проверить, что отношения действительно равны.
Прямую пропорциональность распознают по смыслу: при неизменных остальных условиях увеличение одной величины в несколько раз так же увеличивает другую. Например, при постоянной цене за килограмм покупка большего количества яблок обойдётся дороже в той же кратности. Если обозначить два значения массы m₁ и m₂, а соответствующие стоимости C₁ и C₂, можно записать C₁:C₂ = m₁:m₂. Обе величины здесь расположены в одинаковом порядке: сначала значения первой покупки, затем второй.
Обратная пропорциональность возникает, когда одна величина увеличивается, а другая во столько же раз уменьшается. При одинаковой производительности удвоение числа работников сокращает время выполнения той же работы вдвое, поэтому произведение числа работников на время остаётся постоянным. Если число работников изменилось с n₁ до n₂, а время — с t₁ до t₂, можно записать n₁:n₂ = t₂:t₁. Порядок времени обратный, потому что оно меняется противоположно числу работников; запись n₁:n₂ = t₁:t₂ такой связи не отразила бы.
Текстовую задачу решают последовательно, чтобы не выбирать пропорцию наугад. Сначала определяют, какие величины сравниваются, затем выясняют, прямая между ними зависимость или обратная. После этого записывают соответствующие отношения, следя за порядком и единицами, и находят неизвестное по свойству пропорции. Наконец, проверяют результат по условию: например, при большем числе насосов время должно стать меньше, а не больше.
| Что сравниваем | Зависимость величин | Как меняются величины | Как составить пропорцию |
|---|---|---|---|
| Цена и стоимость при неизменном количестве товара | Прямая | Если цена увеличивается в несколько раз, стоимость увеличивается во столько же раз | Отношения соответствующих величин записывают в одинаковом порядке |
| Пройденный путь и время при неизменной скорости | Прямая | Если время увеличивается в несколько раз, путь увеличивается во столько же раз | Отношения соответствующих величин записывают в одинаковом порядке |
| Число работников и время выполнения одной и той же работы при одинаковой производительности | Обратная | Если работников становится в несколько раз больше, время уменьшается во столько же раз | Одну величину сравнивают в прежнем порядке, другую — в обратном |
Сначала найди в таблице строку, которая соответствует условию, и проверь, сохраняются ли названные условия: например, скорость или производительность. Затем определи, в какую сторону меняется каждая величина, и выбери порядок отношений. Таблица подсказывает способ составления, но сами значения и неизвестное нужно подставить из задачи.
Задача 1. За 3 кг яблок заплатили 240 рублей. Сколько стоят 5 кг яблок при той же цене за килограмм? Масса и стоимость изменяются прямо пропорционально, потому что цена одного килограмма не меняется. Значит, отношения масс и стоимостей можно записать в одинаковом порядке.
Задача 2. Четыре одинаковых насоса наполняют бассейн за 6 часов. За сколько часов наполнят его 8 таких насосов? Работа одна и та же, а насосы одинаковые, поэтому при увеличении числа насосов время уменьшается. Эти величины обратно пропорциональны, и их произведение остаётся постоянным.
Задача 3. На карте с масштабом 1:200 000 расстояние между двумя пунктами равно 3,5 см. Найдём расстояние между пунктами на местности в километрах. Масштаб говорит, что один сантиметр на карте соответствует 200 000 сантиметрам в действительности. Сначала удобно найти настоящую длину в сантиметрах, чтобы единицы в отношении совпадали.
Первая ошибка — составить пропорцию, не выяснив, прямая зависимость или обратная. Это часто происходит, когда числа сразу подставляют в знакомую схему, не читая смысл условия. Для проверки спроси себя, что случится с искомой величиной, если известная возрастёт: при обратной зависимости она должна уменьшиться, а при прямой — увеличиться.
Вторая ошибка — поменять порядок членов только в одном из отношений. Тогда первая ситуация может сравниваться со второй в одной части записи, а во второй части порядок окажется противоположным, поэтому равенство потеряет смысл. Чтобы проверить запись, подпиши словами значения над каждым числом и убедись, что соответствующие ситуации стоят на одинаковых местах. При обратной пропорциональности обратный порядок относится к другой величине, а не появляется случайно.
Третья ошибка — смешать единицы измерения, например сравнить сантиметры на карте с километрами на местности в одной пропорции. Такое сравнение некорректно, даже если числа выглядят удобными. Перед вычислениями приведи длины к одним единицам, а затем при необходимости переведи полученный результат. Проверка проста: прочитай каждое отношение вслух и убедись, что сравниваются одинаковые единицы.
Четвёртая ошибка — неверно перемножить крайние и средние члены или не проверить найденное значение. Её допускают, когда путают расположение членов либо торопятся закончить после вычисления. Отметь крайние и средние члены, отдельно запиши равенство произведений и реши уравнение. Затем подставь ответ в исходную пропорцию и проверь, подходит ли он к условию задачи.
Для работы с пропорциями нужны навыки, которые изучались раньше: умение находить отношение двух величин, сокращать дроби и решать уравнения с неизвестным множителем. Если отношение можно упростить, вычисления становятся короче, но равенство сохраняется. А решение пропорции в конце обычно сводится к знакомому уравнению.
Пропорции применяют в задачах на проценты, масштаб, скорость и совместную работу. В каждом случае нужно не просто выполнить вычисление, а определить связь между величинами и выбрать подходящий порядок отношений. Поэтому умение рассуждать о прямой и обратной зависимости пригодится и в других разделах математики.
Как понять, какие величины нужно записать в пропорцию?
Выбери две величины, между которыми по условию сохраняется связь, например массу товара и его стоимость при неизменной цене. Запиши для каждой величины значение из первой ситуации и соответствующее значение из второй. Проверь, одинаковы ли единицы измерения и не перепутан ли порядок.
Как отличить прямую пропорциональность от обратной?
При прямой пропорциональности увеличение одной величины в несколько раз во столько же раз увеличивает другую. При обратной увеличение одной величины во столько же раз уменьшает другую. Например, при неизменной скорости путь прямо пропорционален времени, а время выполнения одной работы обратно пропорционально числу одинаковых работников.
Почему при обратной пропорциональности порядок величин в отношениях меняется?
Потому что величины изменяются в противоположных направлениях: когда одна растёт, другая уменьшается. Чтобы записать пропорцию, соответствия располагают так, чтобы отношение одной величины сравнивалось с обратным отношением другой. Это отражает постоянство произведения величин.
Как найти неизвестный член пропорции?
Сначала умножь крайние члены пропорции, а затем приравняй их произведение произведению средних членов. Получится уравнение с неизвестным, которое нужно решить. В конце подставь найденное значение и проверь равенство.
Нужно ли переводить величины в одинаковые единицы перед составлением пропорции?
Да, сравниваемые величины должны быть выражены в одинаковых единицах. Например, нельзя в одной пропорции напрямую сравнивать 3,5 см и расстояние в километрах. Переведи значения в одни единицы, реши пропорцию и только после этого, если нужно, переведи ответ.
Решение задач на пропорции
