Пропорциональное деление

Определения и обозначения

Отношение двух чисел — это частное этих чисел. Оно показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть от него составляет. Например, отношение 6 к 3 равно 2, потому что 6 : 3 = 2. Отношения нужны, чтобы сравнивать величины и задавать способ их распределения.

Деление в данном отношении — это распределение величины на части, отношение которых равно указанному. Например, разделить число в отношении 2:3 означает получить две части, первая из которых относится ко второй как 2 к 3. Это не обязательно равные части: заданное отношение сообщает, насколько одна часть больше другой. Такой способ нужен, когда распределение должно быть не поровну, а по условию.

Пропорциональное деление величины на несколько частей — нахождение частей, пропорциональных заданным числам. Каждое число задаёт, сколько одинаковых долей приходится на соответствующую часть. Например, в отношении 2:3:4 три части содержат соответственно две, три и четыре доли. Это определение помогает перейти от заданного отношения к конкретным значениям частей.

Как это устроено

При делении величины в отношении 2:3 первую часть можно представить как две одинаковые доли, а вторую — как три такие же доли. Доли одинаковы, потому что отношение сравнивает части с помощью общего масштаба: единица такого масштаба должна быть одной и той же для обеих частей. Всего получается 2 + 3 = 5 долей. Поэтому нельзя считать, что частей всего две: их две, но составлены они из разного количества долей.

Чтобы узнать размер одной доли, всю величину делят на общее число долей. Например, если величина состоит из пяти равных долей, деление на 5 показывает, сколько приходится на одну. Затем это значение умножают на число долей каждой части: для первой части — на 2, для второй — на 3. Так части вместе составят исходную величину, ведь использованы все её доли.

Если величину S делят в отношении a:b, то всего имеется a + b долей. На первую часть приходится a долей из общего числа, поэтому она составляет a/(a + b) от S; вторая часть составляет b/(a + b) от S. Эти записи получаются из того же рассуждения: сначала находят размер одной доли, S/(a + b), а затем умножают его на a или b. Формулы позволяют сразу вычислить части, не записывая промежуточное значение доли.

При делении на несколько частей действуют точно так же: складывают все числа заданного отношения, чтобы узнать общее число долей. Величину одной доли находят делением всей величины на эту сумму. После этого размер доли умножают по очереди на каждое число отношения. Например, для отношения a:b:c получится a + b + c долей, а части будут равны одной доле, умноженной соответственно на a, b и c.

В конце сложите найденные части и сравните результат с исходной величиной: сумма должна совпасть с ней. Затем проверьте отношение частей, например разделив первую на вторую и сравнив результат с заданным отношением. Первая проверка обнаруживает ошибку в сложении или вычислении размера доли. Вторая помогает заметить, если числа отношения перепутаны местами или доли распределены неверно.

Как разделить величину в заданном отношении

В таблице S обозначает всю величину, а буквы a, b и c — числа заданного отношения. Сначала найди сумму этих чисел и размер одной доли, затем используй числа отношения как множители. Для трёх и более частей правило такое же: складываются все числа отношения.

Разбор задач

Конфеты для двух детей

Разделите 35 конфет между двумя детьми в отношении 2:3. Числа 2 и 3 показывают, сколько долей получит каждый ребёнок, поэтому сначала нужно узнать общее количество долей. Затем найдём, сколько конфет приходится на одну долю, и умножим это число на 2 и на 3.

1. Складываем числа отношения: 2 + 3 = 5 долей.
2. Находим количество конфет в одной доле: 35 : 5 = 7 конфет.
3. Первый ребёнок получает 7 · 2 = 14 конфет, второй — 7 · 3 = 21 конфету.

Ответ: 14 конфет и 21 конфета. Проверим сумму: 14 + 21 = 35. Отношение частей равно 14:21 = 2:3, значит, распределение соответствует условию.

Лента из трёх частей

Разделите 72 см ленты на три части в отношении 2:3:4. В этой записи числа показывают количество долей для каждой части, а не длины частей в сантиметрах. Поэтому сначала выясним число всех долей, а затем переведём доли в сантиметры.

1. Находим общее число долей: 2 + 3 + 4 = 9.
2. Вычисляем длину одной доли: 72 : 9 = 8 см.
3. Находим длины частей: 8 · 2 = 16 см, 8 · 3 = 24 см и 8 · 4 = 32 см.

Ответ: 16 см, 24 см и 32 см. Проверка суммы: 16 + 24 + 32 = 72 см. Части содержат соответственно 2, 3 и 4 доли, поэтому их отношение — 2:3:4.

Путь двух велосипедистов

Два велосипедиста проехали 84 км, причём их пути относятся как 3:4. Нужно распределить общий путь на семь равных долей: три доли первому велосипедисту и четыре — второму. Так мы учитываем одновременно и весь путь, и заданное отношение.

1. Складываем числа отношения: 3 + 4 = 7 долей.
2. Находим расстояние одной доли: 84 : 7 = 12 км.
3. Первый проехал 12 · 3 = 36 км, а второй — 12 · 4 = 48 км.

Ответ: 36 км и 48 км. Проверяем общий путь: 36 + 48 = 84 км. Их отношение 36:48 сокращается на 12 и становится 3:4, как требовалось.

Типичные ошибки

Иногда всю величину делят на одно из чисел отношения, например делят 35 на 2 при отношении 2:3. Так поступают, если воспринимают число долей первой части как число долей во всей величине. Чтобы найти одну долю, нужно делить на сумму чисел отношения: здесь это 2 + 3. Проверь себя: умножь полученную величину одной доли на общее число долей — должно выйти исходное значение.

Другая ошибка — принять число долей за размер всей части. При отношении 2:3 первая часть содержит две доли, но сама часть равна двум размерам доли, а не просто числу 2. Путаница возникает, когда забывают, что числа отношения не выражают сантиметры, конфеты или другие единицы величины. Умножь размер одной доли на число долей части и проверь, что получившиеся части в сумме дают целое.

Можно перепутать числа отношения и назначить большую часть не тому участнику. Это часто происходит, когда вычисления выполняют по порядку, не связывая числа с участниками или предметами из условия. Перед вычислением подпиши, кому соответствует каждое число, например: первый — 2 доли, второй — 3 доли. После решения сравни порядок частей с условием: при отношении 2:3 вторая часть должна быть больше первой.

Наконец, нельзя забывать о проверке ответа. Иногда отдельные вычисления выглядят правдоподобно, но части не складываются в исходную величину или имеют другое отношение. Сложи найденные части и отдельно сравни их отношение с заданным; например, сократи числа частей на общий множитель. Если хотя бы одна проверка не проходит, вернись к сумме долей и вычислениям.

Связь с другими темами

Для пропорционального деления нужно уметь находить отношение чисел, делить величину на равные части и выполнять действия с обыкновенными дробями. Эти знания помогают понять, что числа отношения задают количество равных долей, а не готовые значения частей. Если размер одной доли получается дробным, его можно использовать в дальнейших вычислениях точно так же, как целое число.

Этот способ встречается в задачах на масштаб, смеси, совместную работу и распределение величин. Например, масштаб связывает расстояния на карте и на местности, а в смеси компоненты могут задаваться определённым отношением. В задачах о работе или распределении пропорциональное деление позволяет перевести заданное соотношение в конкретные значения.

Что запомнить

• Числа заданного отношения показывают, сколько долей приходится на каждую часть.
• Общее число долей равно сумме чисел отношения.
• Величина одной доли равна всей величине, делённой на общее число долей.
• Каждую часть находят умножением величины одной доли на число долей этой части.
• Сумма найденных частей должна равняться исходной величине.
• Отношение найденных частей должно совпадать с заданным.