"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Прямая и обратная пропорциональность описывают, как связаны две величины. При прямой пропорциональности они меняются в одном направлении, а отношение их значений остаётся постоянным. При обратной — увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой, а произведение значений не меняется. Эти правила помогают составлять формулы, находить неизвестные данные и решать задачи о покупках, движении и работе. Главное — определить, что в условии остаётся постоянным, и проверить выбранную зависимость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая пропорциональность — зависимость, которую записывают формулой y = kx, где x и y — связанные величины. Для любой их пары отношение y/x остаётся одинаковым. Это нужно, чтобы узнавать прямую зависимость по таблице и вычислять одно значение по другому.
Коэффициент прямой пропорциональности — число k в формуле y = kx. Оно показывает, чему равно значение y при x = 1, то есть во сколько единиц y обходится одна единица x. Зная k, можно быстро находить любые значения зависимости, не составляя таблицу заново.
Обратная пропорциональность — зависимость, задаваемая формулой y = k/x, где x не равно нулю. При ней произведение соответствующих значений xy постоянно. Такое описание помогает находить неизвестную величину, когда увеличение одной должно компенсироваться уменьшением другой.
Коэффициент обратной пропорциональности — число k, задающее постоянное произведение связанных величин. Для любой пары значений оно вычисляется как k = xy. Зная этот коэффициент, можно восстановить формулу и найти значение y по известному x или наоборот.
Чтобы проверить по таблице прямую пропорциональность, раздели каждое значение y на соответствующее ему x. Например, для пар (2; 6) и (4; 12) получаем 6/2 = 3 и 12/4 = 3. Отношения совпали, поэтому подходит формула y = 3x; проверка нужна потому, что сами по себе одинаковые направления изменения ещё не доказывают пропорциональность.
Для обратной пропорциональности перемножь значения каждой пары. Если для пар (2; 12), (3; 8) и (4; 6) получаются произведения 24, зависимость можно записать как y = 24/x. Произведение сохраняется, потому что при росте x значение y должно уменьшиться настолько, чтобы их произведение не изменилось. Если произведения разные, таблица не описывает обратную пропорциональность.
Формулу составляют по одной известной паре значений, предварительно определив вид зависимости. Для прямой пропорциональности k = y/x, а для обратной k = xy. Например, если при x = 5 получено y = 20, то для прямой зависимости k = 4 и y = 4x, а для обратной k = 100 и y = 100/x. Разные формулы возможны для одной пары, поэтому нужны и остальные данные или смысл задачи.
Неизвестное значение находят подстановкой в формулу или составлением равенства. Например, при y = 4x и x = 7 получаем y = 28; при y = 100/x и x = 5 получаем y = 20. После вычисления подставь ответ обратно и проверь, выполняется ли исходное равенство. Ещё проверь единицы измерения и то, подходит ли результат условию задачи.
По смыслу задачи выясняют, что остаётся постоянным и как это связывает величины. При постоянной цене большее количество товара означает большую стоимость, поэтому количество и стоимость меняются вместе. При постоянном расстоянии увеличение скорости сокращает время пути. Но одного наблюдения «обе величины растут» недостаточно: прямую пропорциональность подтверждает постоянное отношение, а обратную — постоянное произведение.
| Признак | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Формула зависимости | y = kx | y = k/x |
| Что постоянно | Отношение y/x | Произведение xy |
| Как меняется одна величина при увеличении другой | Меняется в том же направлении и во столько же раз | Меняется в противоположном направлении так, чтобы произведение не менялось |
| Как найти коэффициент | k = y/x | k = xy |
| Пример зависимости | Стоимость при постоянной цене за единицу | Время пути при постоянном расстоянии |
Сначала выбери в таблице строку «Что постоянно» и сравни её с данными задачи. Затем используй соответствующую формулу и способ нахождения коэффициента. Примеры в последней строке помогают проверить, подходит ли выбранная модель по смыслу.
За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Нужно узнать стоимость 5 таких тетрадей. Цена одной тетради не меняется, поэтому стоимость прямо пропорциональна количеству: если тетрадей больше, общая цена возрастает в столько же раз.
Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей. Такой способ удобен, потому что сначала находится цена одной вещи, а затем она умножается на нужное количество. При другой цене формула и ответ изменились бы.
Автомобиль должен проехать 180 км с постоянной скоростью. Нужно найти время при скорости 60 км/ч и при скорости 90 км/ч. Расстояние здесь остаётся постоянным, а скорость и время связаны равенством s = vt, поэтому их произведение равно 180.
Ответ: при 60 км/ч путь займёт 3 часа, при 90 км/ч — 2 часа. Здесь нельзя считать время прямо пропорциональным скорости: это увеличило бы его, хотя расстояние остаётся прежним. Результаты также имеют подходящие единицы измерения.
Для изготовления 12 одинаковых деталей требуется 8 часов. Нужно найти время для 18 деталей при неизменной производительности. Чем больше деталей изготавливают, тем дольше работает оборудование, поэтому число деталей и время прямо пропорциональны. Неизменная производительность означает постоянное количество деталей за час.
Ответ: 18 деталей изготовят за 12 часов. В этой задаче прямо пропорциональны число деталей и время, потому что производительность постоянна. Если бы производительность менялась, найденная формула уже не описывала бы условие.
Ошибка — называть зависимость прямой пропорциональностью только потому, что обе величины растут. Так думают, потому что замечают одинаковое направление изменения, но рост может быть не пропорциональным. Проверь все пары: отношение y/x должно быть одним и тем же.
Ошибка — путать постоянное отношение с постоянным произведением. Их легко смешать, потому что оба признака помогают найти коэффициент, но относятся к разным формулам. Для y = kx дели y на x, а для y = k/x умножай x на y.
Ошибка — сразу составлять обратную пропорцию, не выяснив, что в задаче сохраняется. Например, скорость и время обратно пропорциональны только при постоянном расстоянии. Сначала назови неизменную величину и проверь, следует ли из условия постоянство произведения.
Ошибка — не проверять единицы и смысл результата. Из-за этого можно получить время в неподходящих единицах или неверную стоимость; причиной часто бывает спешка при вычислениях. Подставь ответ в условие и проверь, что единицы согласованы, а результат реалистичен.
Для работы с пропорциональностью нужно уметь находить отношение и произведение чисел, решать уравнения и составлять пропорции. Эти действия позволяют вычислить коэффициент и найти неизвестную величину. Если навык вычислений неуверенный, стоит повторить его перед решением задач.
Пропорциональности применяются в задачах на движение, стоимость покупок, производительность и совместную работу. В каждом случае сначала определяют, какие условия постоянны, например цена единицы или расстояние. Это помогает выбрать формулу, а не угадывать её по словам задачи.
Эта тема подготавливает к изучению функций: формул зависимости, таблиц значений и графиков. Формула показывает правило связи величин, а таблица — отдельные пары значений. На их основе можно будет исследовать, как меняется одна величина при изменении другой.
Как отличить прямую пропорциональность от обратной?
При прямой пропорциональности отношение y/x постоянно, а формула имеет вид y = kx. При обратной постоянно произведение xy, и зависимость задаётся формулой y = k/x. В задаче сначала выясни, что остаётся неизменным.
Как проверить по таблице, является ли зависимость прямой пропорциональностью?
Для каждой пары значений раздели y на соответствующее x. Если все отношения одинаковы, зависимость прямая и это общее отношение равно k. Если результат меняется, такой зависимости нет.
Как найти коэффициент пропорциональности?
Для прямой пропорциональности раздели известное значение y на соответствующее x: k = y/x. Для обратной перемножь известные значения: k = xy. Затем подставь найденный коэффициент в формулу.
Почему при постоянном расстоянии скорость и время обратно пропорциональны?
Расстояние равно произведению скорости на время: s = vt. Если расстояние постоянно, то произведение скорости и времени не меняется. Поэтому при увеличении скорости время в той же зависимости уменьшается.
Как проверить, что ответ задачи соответствует условию?
Подставь найденное значение в формулу или проверь его в исходном условии. Убедись, что единицы измерения подходят и величина имеет смысл: например, время не получилось отрицательным. Для обратной пропорциональности дополнительно проверь постоянство произведения.
Решение упражнений по теме: Прямая и обратная пропорциональность
