"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно представить как произведение двух двучленов первой степени. Такое разложение помогает упростить выражение и решать квадратные уравнения. Если a = 1, нужно найти два числа с произведением c и суммой b. При a ≠ 1 подбирают числа с произведением ac и суммой b, разбивают средний член, а затем группируют слагаемые. Проверка выполняется раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c не содержит переменной и называется свободным членом. Буква x обозначает переменную, а a, b и c — числа. По этим коэффициентам можно понять, какие числа понадобятся для разложения.
Разложить квадратный трёхчлен на множители — значит представить его как произведение двух выражений первой степени, обычно двучленов. Например, вместо суммы можно получить запись (x + m)(x + n). Она удобна тем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому разложение используют, в частности, при решении квадратных уравнений.
Подбор чисел — поиск таких чисел, произведение которых равно ac, а сумма равна b. При a = 1 это условие становится проще: произведение чисел должно быть c, а сумма — b. Найденные числа помогают разделить средний член bx на два слагаемых. После этого выражение можно сгруппировать.
Разложение группировкой — способ преобразования, при котором слагаемые объединяют в группы и выносят общий множитель. Общим называют множитель, который присутствует во всех слагаемых группы. Удачная группировка приводит к одинаковой скобке в обеих группах. Эту скобку затем выносят за скобки, получая произведение.
Сначала рассмотрим случай a = 1. Если представить x² + bx + c как (x + m)(x + n), раскрытие скобок даст x² + (m + n)x + mn. Чтобы это выражение совпало с исходным, коэффициент при x должен быть b, а свободный член — c. Поэтому нужны числа, сумма которых равна b, а произведение — c. Условия возникают не из догадки, а из сравнения коэффициентов.
При a ≠ 1 средний член разбивают, опираясь на произведение ac и сумму b. Пусть подходящие числа — m и n: тогда bx можно записать как mx + nx, поскольку m + n = b. Условие mn = ac нужно, чтобы после группировки согласовались коэффициенты при x² и свободный член. Так подбор учитывает не только средний член, но и старший коэффициент.
После подбора замените bx на mx + nx и сгруппируйте четыре слагаемых попарно. Из каждой группы вынесите общий множитель: в первой обычно выносится общий коэффициент при x, во второй — свободный коэффициент. Если числа подобраны верно, в скобках появится один и тот же двучлен. Его можно вынести за скобки, и выражение станет произведением двух двучленов.
Проверить результат можно раскрытием скобок. Перемножьте найденные двучлены и приведите подобные слагаемые. Коэффициент при x² должен совпасть с a, при x — с b, а свободный член — с c. Если хотя бы один коэффициент отличается, проверьте подбор чисел, знаки и группировку.
Если целые числа с произведением ac и суммой b не находятся сразу, проверьте пары делителей внимательнее: возможна пара с отрицательными числами. Отсутствие найденной пары само по себе не доказывает невозможность разложения. Можно рассмотреть другие допустимые числа или применить иной известный способ, например формулу корней квадратного уравнения, если он подходит для задачи. В любом случае не следует подменять проверку поспешным выводом.
Двигайтесь по таблице сверху вниз: каждый шаг готовит следующий. При подборе чисел обязательно проверяйте одновременно сумму и произведение. В конце раскройте скобки, чтобы убедиться, что разложение верно.
| Шаг | Что найти или сделать | Зачем это нужно |
|---|---|---|
| Записать коэффициенты a, b и c | Определить числа при x², x и свободный член | Чтобы составить условия подбора |
| Найти два числа с произведением ac и суммой b | Проверить пары чисел и их знаки | Чтобы правильно разбить средний член |
| Разбить bx на два слагаемых | Записать bx как mx + nx | Чтобы получить четыре слагаемых для группировки |
| Сгруппировать слагаемые и вынести общие множители | Объединить слагаемые попарно | Чтобы получить одинаковую скобку |
| Записать произведение двучленов и проверить раскрытием скобок | Вынести одинаковую скобку и сравнить коэффициенты | Чтобы подтвердить правильность результата |
Задача 1. Разложите на множители x² + 5x + 6. Здесь a = 1, поэтому ищем числа с произведением 6 и суммой 5. Подходят 2 и 3: их произведение равно 6, а сумма — 5. Запишем результат и проверим его раскрытием скобок.
Ответ: (x + 2)(x + 3).
Задача 2. Разложите на множители 2x² + 7x + 3. Теперь a = 2, поэтому нужны числа с произведением ac = 2 · 3 = 6 и суммой b = 7. Это числа 6 и 1. Разбиваем средний член так, чтобы слагаемые можно было удобно сгруппировать.
Ответ: (2x + 1)(x + 3).
Задача 3. Разложите на множители 6x² − x − 2. Здесь ac = 6 · (−2) = −12, а сумма подобранных чисел должна равняться −1. Подходят 3 и −4: их произведение −12, а сумма −1. Разбиение среднего члена даёт слагаемые, которые удобно объединить попарно.
Ответ: (3x − 2)(2x + 1).
При a ≠ 1 иногда подбирают числа с произведением c, забывая про старший коэффициент. Это условие подходит для особого случая a = 1, но в общем случае нужно учитывать ac. Ошибка возникает из-за привычки к более простому виду x² + bx + c. Проверьте себя: перемножьте найденные числа и сравните результат именно с ac.
Другая ошибка — найти числа с нужным произведением, но не проверить их сумму. Тогда разбиение среднего члена не даст исходный коэффициент b. Кажется, что произведение — главное условие, потому что оно связано с коэффициентом при x². Однако нужны оба условия: сумма должна быть b. Перед разбиением запишите отдельно оба результата проверки.
При отрицательных числах легко ошибиться со знаками и записать неверное разбиение bx. Такое случается, когда ученик учитывает произведение, но не проверяет сумму слагаемых. После разбиения сложите коэффициенты при x: они обязаны дать b. Например, 3x − 4x = −x, а не x.
Некоторые останавливаются после записи mx + nx и считают задачу решённой. Но разбиение только подготавливает выражение к группировке, а само по себе не даёт произведения множителей. Нужно объединить слагаемые, вынести общий множитель из каждой группы и получить одинаковую скобку. Если её нет, проверьте подбор и порядок группировки.
Для группировки нужно уметь выносить общий множитель за скобки и пользоваться распределительным свойством умножения. Подбор чисел опирается на умение складывать и перемножать целые числа, включая отрицательные. Эти навыки уже встречались при преобразовании многочленов. Позже разложение квадратного трёхчлена поможет решать квадратные уравнения: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
Почему при подборе чисел нужно учитывать ac, а не только c?
При разбиении среднего члена на mx и nx числа m и n должны иметь сумму b. Их произведение связано со старшим членом: оно равно ac, потому что после группировки должны получиться множители, произведение которых даёт ax². Если a = 1, условие упрощается до произведения c.
Как понять, какие знаки должны быть у подобранных чисел?
Если произведение положительное, числа имеют одинаковые знаки; их общий знак задаёт сумма. Если произведение отрицательное, знаки разные, а знак суммы показывает, какое по модулю число больше и какой знак у него.
Что делать, если подходящие числа не удаётся найти сразу?
Проверьте пары целых делителей ac, включая отрицательные числа, и для каждой пары сравните сумму с b. Если целой пары нет, это ещё не доказывает, что разложение невозможно: возможны другие числа или другие способы, например формула с дискриминантом.
Зачем разбивать средний член на два слагаемых?
После разбиения можно объединить слагаемые в две группы. В каждой группе выносится общий множитель, и при удачном подборе внутри скобок появляется одинаковый двучлен.
Как проверить, что разложение выполнено правильно?
Раскройте скобки в полученном произведении. Коэффициенты при x² и x, а также свободный член должны совпасть с коэффициентами исходного трёхчлена.
4.5. Разложение выражения ax? + bx + c на множители
