"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение — q. Эти соотношения помогают быстрее находить корни подбором, проверять ответы и решать задачи с параметрами. Для уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 формулы тоже работают, но коэффициенты нужно разделить на a, причём a не должно равняться нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, если после подстановки числа слева и справа получается одно и то же, это число — корень. У квадратного уравнения может быть два действительных корня, один или ни одного действительного корня, поэтому заранее число корней не предполагают.
Теорема Виета — утверждение о связи суммы и произведения корней приведённого квадратного уравнения с его коэффициентами. Она позволяет узнать, какими должны быть сумма и произведение корней, не находя их по формуле. Это удобно, когда корни можно быстро подобрать или нужно проверить уже найденный ответ.
Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0, в котором коэффициент при x² равен единице. Здесь p — коэффициент при x, а q — свободный член, то есть число без переменной. Такое уравнение удобно для теоремы Виета: сумма корней связана с p, а произведение — с q.
Обратная теорема Виета позволяет проверить, являются ли два числа корнями данного приведённого уравнения. Если их сумма равна −p, а произведение равно q, то эти числа действительно являются корнями уравнения x² + px + q = 0. Это помогает подтвердить подбор, не решая уравнение заново.
Пусть корни уравнения x² + px + q = 0 — числа x₁ и x₂. Тогда квадратный трёхчлен можно разложить на множители: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Это верно потому, что каждый корень обращает в ноль один из множителей. Раскроем скобки: получим x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂; сравнение коэффициентов с исходным трёхчленом даёт x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q.
Итак, для приведённого уравнения сумма корней равна числу, противоположному коэффициенту при x, а произведение равно свободному члену. Знаки помогают при подборе: если q положительно, корни одного знака, а если отрицательно — разных знаков. При q > 0 знак суммы укажет, положительны корни или отрицательны, если они действительные. Эти наблюдения не заменяют проверку, но сокращают число возможных пар.
Если старший коэффициент не равен единице, уравнение называют неприведённым: ax² + bx + c = 0. При a ≠ 0 разделим обе части на a и получим x² + (b/a)x + c/a = 0. Теперь коэффициенты при x и свободный член равны b/a и c/a, поэтому сумма корней составляет −b/a, а произведение — c/a. Условие a ≠ 0 необходимо: при a = 0 уравнение уже не является квадратным и делить на a нельзя.
Обратная теорема позволяет двигаться от суммы и произведения к уравнению. Если числа u и v имеют сумму −p и произведение q, то (x − u)(x − v) = x² − (u + v)x + uv = x² + px + q. Поэтому приравнивание этого произведения к нулю даёт корни u и v. Следовательно, проверка двух равенств — суммы и произведения — подтверждает, что пара чисел подходит к уравнению.
Для поиска целых корней можно перебирать пары делителей q: их произведение должно дать q, а сумма — −p. Например, при положительном q рассматривают пары делителей с одинаковыми знаками, а при отрицательном — с разными. Затем подходящую пару проверяют подстановкой в исходное уравнение. Если подходящей целой пары нет, это не доказывает отсутствия корней: они могут быть дробными или иррациональными.
| Уравнение | Сумма корней x₁ + x₂ | Произведение корней x₁x₂ |
|---|---|---|
| x² + px + q = 0 | −p | q |
| ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 | −b/a | c/a |
Сначала определите, приведено ли уравнение: если коэффициент при x² равен 1, используйте первую строку. Для общего вида разделите коэффициенты при x и свободный член на коэффициент при x². После этого по сумме и произведению можно подбирать корни или проверять найденные.
Задача 1. Найти корни уравнения x² − 7x + 12 = 0, используя теорему Виета. Здесь p = −7, q = 12, значит, сумма корней должна быть 7, а произведение — 12. Ищем пару делителей 12, которая подходит сразу по обоим условиям.
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 4.
Задача 2. Найти корни уравнения 2x² − 7x + 3 = 0. Оно неприведённое, поэтому нельзя считать, что сумма корней равна 7, а произведение — 3. По формулам для общего вида корни должны иметь сумму 7/2 и произведение 3/2.
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 1/2.
Задача 3. Известно, что число 1 — корень уравнения x² + (m − 3)x + 2m − 4 = 0. Нужно найти параметр m и второй корень. Параметр определим подстановкой известного корня, потому что при верном значении он должен обратить уравнение в ноль.
Ответ: m = 2, второй корень равен 0.
Иногда сумму корней записывают как p, забывая минус: для x² + px + q = 0 правильно x₁ + x₂ = −p. Ошибка возникает, если не сравнить коэффициент при x в разложении на множители: там стоит −(x₁ + x₂). Проверяйте знак по примеру x² − 7x + 12: сумма корней 7, то есть противоположна коэффициенту −7.
Для уравнения ax² + bx + c = 0 нельзя сразу применять формулы приведённого уравнения, не учитывая a. Нужно разделить коэффициенты на a: сумма равна −b/a, произведение — c/a. Если ответ не совпадает с этими отношениями, проверьте, не забыли ли вы разделить каждый член уравнения на старший коэффициент.
Ещё одна путаница — использовать q для суммы, а p для произведения. В приведённом уравнении коэффициент при x связан с суммой корней, а свободный член — с произведением: −p и q соответственно. Чтобы проверить себя, выпишите обе формулы рядом и сравните, где в уравнении находятся p и q.
Подходящую сумму и произведение иногда принимают за доказательство того, что найдены действительные корни, хотя числа могли быть подобраны или вычислены неверно. Обратная теорема применима, когда числа действительно имеют нужные сумму и произведение, а подстановка дополнительно выявляет вычислительную ошибку. Проверьте оба условия Виета и каждое число в исходном уравнении.
Чтобы пользоваться теоремой Виета, нужно распознавать общий вид квадратного уравнения и знать его коэффициенты. Также помогает разложение квадратного трёхчлена на множители: именно оно объясняет связь коэффициентов с корнями. При решении уравнений теорема Виета дополняет способы, основанные на дискриминанте, и позволяет быстрее проверить результат.
Позже сумма и произведение корней пригодятся при изучении свойств квадратного трёхчлена и решении задач с параметрами. Если один корень или параметр известен, соотношения Виета помогают найти оставшуюся величину. Подбор целых корней — один из практических случаев применения этих связей.
Почему в формуле суммы корней появляется знак минус?
При разложении x² + px + q на множители получается (x − x₁)(x − x₂). При раскрытии скобок коэффициент при x равен −(x₁ + x₂), поэтому сумма корней равна −p.
Можно ли применять теорему Виета, если уравнение не приведённое?
Да. Для ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Можно также разделить всё уравнение на a и применить формулы для приведённого уравнения.
Как подобрать корни уравнения по теореме Виета?
Нужно найти два числа, сумма которых равна −p, а произведение — q. Для целых корней удобно перебирать пары делителей q и проверять их сумму.
Что делать, если подбор целых корней не удаётся?
Это не означает, что уравнение не имеет корней: они могут быть дробными или иррациональными. Тогда можно использовать дискриминант и формулу корней квадратного уравнения, а результат проверить подстановкой.
Как проверить найденные корни с помощью обратной теоремы Виета?
Для найденных чисел вычислите сумму и произведение. Если они равны −p и q в уравнении x² + px + q = 0, то по обратной теореме Виета числа являются его корнями.
4.4. Теорема Виета
