"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Целое рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная не стоит в знаменателе и возводится только в целые неотрицательные степени. Такие уравнения помогают находить неизвестные величины в задачах и часто сводятся к линейным, квадратным или к произведению множителей, равному нулю. Главное — сначала упростить уравнение, а затем подобрать подходящий способ решения и проверить каждый корень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная не находится в знаменателе и входит только в целых неотрицательных степенях: 0, 1, 2 и так далее. Например, 2x² − 3x = 5 подходит, а 1/x = 4 — нет. Это определение помогает сразу понять, можно ли записать части уравнения как многочлены.
Степень уравнения — наибольшая степень переменной в многочлене, когда уравнение приведено к виду P(x) = 0. Например, если после упрощения получается 4x³ − x + 2 = 0, степень равна трём. Она подсказывает, с уравнением какого типа предстоит работать.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, для x − 4 = 0 корень — число 4. Понятие корня позволяет точно сформулировать, какие значения нужно найти при решении.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. При решении удобно заменять исходное уравнение более простым, но только если преобразование сохраняет все его корни и не добавляет новых. Поэтому найденные значения нужно проверять в исходной записи.
Чтобы привести целое рациональное уравнение к виду P(x) = 0, переносят все слагаемые в одну часть, а другую заменяют нулём. При переносе знак слагаемого меняется, потому что к обеим частям уравнения прибавляют или из обеих частей вычитают одно и то же выражение. Затем подобные слагаемые объединяют: так становится видно, какой многочлен нужно приравнять к нулю.
Степень находят только после упрощения. В исходной записи могут быть слагаемые с x², которые при переносе или сложении взаимно уничтожаются, поэтому они не определяют степень итогового уравнения. Например, x² + 2x = x² + 5 после переноса превращается в 2x − 5 = 0: это линейное уравнение, хотя сначала встречались квадраты.
Если многочлен удаётся разложить на множители, уравнение P(x) = 0 записывают как произведение выражений, равное нулю. Например, x² − 5x + 6 можно представить как (x − 2)(x − 3). Такая запись полезна, потому что каждое выражение в скобках проще приравнять к нулю, чем решать исходное уравнение целиком.
Произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю: ненулевые числа при умножении не дают ноль, а умножение на ноль всегда даёт ноль. Поэтому из (x − 2)(x − 3) = 0 получаются два отдельных уравнения: x − 2 = 0 или x − 3 = 0. Нужно рассмотреть каждый множитель, иначе можно пропустить часть корней.
После решения проверь найденные значения подстановкой в исходное уравнение, а не только в разложенную запись. Так можно обнаружить ошибку в преобразованиях или вычислениях. Если каждый корень делает левую и правую части равными, запиши все найденные значения в ответ; если значение не подходит, его не включают.
| Вид после упрощения | Как распознать | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Линейное уравнение | Переменная только в первой степени | Перенести слагаемые и выразить переменную | Подстановкой проверить равенство |
| Квадратное уравнение | Наибольшая степень переменной равна двум | Разложить на множители или применить известные способы решения | Учесть все корни и подставить их |
| Уравнение, левая часть которого раскладывается на множители | После упрощения получен многочлен, который можно представить произведением | Приравнять каждый множитель к нулю | Раскрытием скобок проверить разложение |
| Уравнение, сводимое к произведению множителей | После переноса и вынесения общего множителя получается произведение | Использовать свойство нулевого произведения | Проверить преобразования и каждый корень |
Сначала смотри на уравнение после переноса слагаемых и приведения подобных — исходный вид может быть обманчивым. Затем выбери приём, подходящий к получившемуся многочлену. Если раскладываешь его на множители, раскрытие скобок поможет проверить разложение.
Решим три уравнения, чтобы увидеть, как меняется способ в зависимости от записи. В первом произведение уже дано, поэтому достаточно применить свойство нулевого произведения. Во втором сначала нужно разложить квадратный трёхчлен, а в третьем — получить произведение после переноса.
Задача 1. Решите уравнение 3x(x − 2) = 0.
Ответ: 0; 2.
Задача 2. Решите уравнение x² − 5x + 6 = 0.
Ответ: 2; 3.
Задача 3. Решите уравнение (x − 1)(x + 2) = x − 1.
Ответ: −1; 1.
Приравнивают к нулю только один множитель произведения и теряют остальные корни. Так бывает, если забыть, что нулём может стать любой множитель. Выпиши отдельное уравнение для каждой скобки и проверь, что ни одна не пропущена.
Неверно раскладывают многочлен на множители, потому что подбирают числа наугад или путают знаки. Проверить себя можно обратным действием: раскрой скобки в полученном произведении и сравни результат с исходным многочленом. Если выражения не совпали, разложение нужно исправить.
Степень определяют по исходной записи и не замечают, что некоторые слагаемые сокращаются после переноса. Это происходит, когда начинают выбирать способ решения, не упростив уравнение. Сначала приведи подобные в записи P(x) = 0 и только затем найди наибольшую оставшуюся степень переменной.
Не проверяют ответ в исходном уравнении и могут не заметить ошибку при переносе или раскрытии скобок. Иногда проверяют только полученное разложение, хотя ошибка могла появиться раньше. Подставь каждое значение в первоначальную запись и сравни её левую и правую части.
Для решения таких уравнений нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и переносить выражения через знак равенства. Эти действия позволяют получить многочлен, приравненный к нулю. Также пригодятся разложение многочленов на множители и свойство нулевого произведения.
Тот же подход помогает решать текстовые задачи: составить уравнение, упростить его и найти подходящие значения неизвестной. Уравнения целого рационального вида могут сводиться к квадратным или к произведению множителей. Значит, освоенные приёмы пригодятся при изучении следующих способов решения уравнений.
Как понять, является ли уравнение целым рациональным?
Проверь, не находится ли переменная в знаменателе и нет ли её в дробной или отрицательной степени. Если переменная входит только в целых неотрицательных степенях, а выражения составлены из многочленов, уравнение целое рациональное.
Как определить степень уравнения?
Перенеси все слагаемые в одну часть и приведи подобные, чтобы получить P(x) = 0. Степень — наибольшая степень переменной, которая осталась в упрощённом многочлене.
Что делать, если после переноса слагаемых уравнение не раскладывается на множители?
Сначала проверь, можно ли решить уравнение как линейное или квадратное: для квадратного подойдут известные способы решения. Если это уравнение более высокой степени, поищи общий множитель или формулы сокращённого умножения; иногда нужны другие способы, которые изучаются позже.
Почему произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю?
При умножении на ноль результат всегда равен нулю, каким бы ни был второй множитель. А если все множители отличны от нуля, то и их произведение не может быть нулём.
Зачем проверять корни в исходном уравнении?
Проверка выявляет ошибки при раскрытии скобок, переносе слагаемых или разложении на множители. Подставь каждый найденный корень в исходное уравнение: он подходит, только если равенство верно.
5.1. Целые рациональные уравнения
