"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Графическое исследование уравнения помогает понять, сколько у него корней и где они расположены, даже если точное решение найти трудно. Для уравнения f(x) = g(x) строят графики y = f(x) и y = g(x): корни соответствуют абсциссам их общих точек. По графику можно получить точные значения, если координаты читаются однозначно, или приближённые оценки. Этот способ также позволяет увидеть, как число корней меняется при изменении параметра.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Графический способ решения уравнения — нахождение корней по абсциссам точек пересечения графиков функций, заданных левой и правой частями уравнения. Например, для x² = 2x + 3 строят y = x² и y = 2x + 3. Такой способ помогает увидеть решения, даже когда преобразования уравнения неудобны.
Графическое исследование уравнения — определение числа и примерного расположения корней по взаимному расположению графиков. Здесь может быть важен не точный ответ, а понимание, есть ли решения и в каких промежутках их искать. Это особенно полезно, когда уравнение зависит от параметра.
Корень уравнения — значение переменной, при котором левая и правая части уравнения принимают равные значения. Если при x = 1 обе части равны 4, то 1 — корень уравнения. Это определение позволяет проверить найденный ответ подстановкой.
Точка пересечения графиков — точка с общей абсциссой и общей ординатой, соответствующая корню уравнения. Абсцисса задаёт значение переменной, а ордината — общее значение функций в этой точке. Различие координат важно, чтобы не перепутать корень со значением функции.
Пусть дано уравнение f(x) = g(x). На графике y = f(x) каждой допустимой абсциссе соответствует значение первой части, а на графике y = g(x) — значение второй. Если при некотором x эти значения равны, обе точки графиков имеют и одинаковую абсциссу, и одинаковую ординату, значит, они совпадают. Поэтому решения уравнения можно искать как общие точки двух графиков.
Каждая общая точка соответствует одному значению x, при котором выполняется равенство. Значит, если графики имеют одну точку пересечения, уравнение имеет один корень, а если несколько — столько же корней, сколько разных абсцисс у этих точек. Когда пересечений нет, равные значения функций не встречаются и действительных корней нет. При подсчёте учитывают только те точки, где обе функции определены.
У точки на координатной плоскости есть абсцисса x и ордината y. В уравнении f(x) = g(x) неизвестным является x, поэтому корнем служит абсцисса общей точки. Ордината показывает, чему равны обе части при этом корне, но сама в уравнение вместо x не подставляется. Например, пересечение в точке (2; 7) даёт корень x = 2, а не 7.
Построение особенно удобно, когда уравнение трудно решить точно или его точное решение не требуется. На координатной сетке можно определить, между какими делениями находится абсцисса пересечения, и оценить корень. Например, если точка расположена немного правее x = 1, можно указать приближённое значение около 1 с подходящей точностью. Результат зависит от масштаба и аккуратности чертежа, поэтому оценку не считают точным ответом.
Параметр можно представить как число, которое изменяет положение одного из графиков. Например, при изменении a прямая y = 2x + a перемещается относительно параболы y = x². Пока прямая пересекает параболу в двух местах, уравнение имеет два корня; при касании точки сливаются в одну, а после касания пересечений может не быть. Значения параметра, при которых возникает такое критическое положение, помогают разделить случаи с разным числом корней.
| Взаимное положение графиков | Число точек пересечения | Число корней уравнения | Вывод о решении |
|---|---|---|---|
| Графики не пересекаются | 0 | 0 | Действительных корней нет |
| Одна точка пересечения | 1 | 1 | Есть один корень |
| Несколько точек пересечения | Несколько | Столько же, сколько точек | Каждая абсцисса даёт корень |
| Графики касаются в одной точке | 1 | 1 | Есть один корень; положение может быть критическим |
| Графики совпадают на части области определения | Бесконечно много | Бесконечно много | Решениями служат все общие абсциссы |
Сначала проверьте, где обе функции определены, и только затем считайте общие точки в этой области. Абсциссы этих точек дают корни, а касание учитывается как одна общая точка. Если графики совпадают на промежутке, корнями будут все допустимые значения x на этом промежутке.
Ученик иногда называет корнем ординату точки пересечения. Это происходит, если координаты точки воспринимаются как единая пара и забывается, что переменная уравнения обозначена x. Проверьте себя: запишите координаты пересечения и выберите первое число, абсциссу; подстановка этого числа в исходное уравнение должна дать равенство.
Приближённое значение, снятое с рисунка, могут записать как точное. Причина — деления сетки и толщина линий создают впечатление полной точности. Используйте знак ≈ и укажите разумное округление, а если требуется точный ответ, подтвердите его вычислением или преобразованием уравнения.
Можно учесть точку пересечения, в которой одна из функций не определена. Такое случается, когда область определения забывают после построения или преобразования уравнения. До подсчёта точек проверьте допустимые значения x для обеих частей и исключите недопустимые абсциссы.
Вывод об отсутствии корней иногда делают по рисунку с неудачным масштабом или неточно проведёнными линиями. Далёкие участки графиков могли просто не попасть в поле чертежа, а близкое пересечение — остаться незаметным. Измените масштаб и область построения, проверьте несколько значений функций и, если возможно, сравните вывод с алгебраическими рассуждениями.
Для графического решения нужны умение строить функции и читать координаты на плоскости, а также понятие корня уравнения. Следует уметь находить точки пересечения и проверять область определения обеих функций. Метод применяют к квадратным, показательным и логарифмическим уравнениям, а также к уравнениям с параметром. Он помогает оценить число и расположение корней, когда точный расчёт затруднён.
Почему корнем считают абсциссу точки пересечения, а не саму точку?
Корень уравнения — значение x, при котором левая и правая части равны. У точки пересечения две координаты, но именно абсцисса показывает это значение x; ордината лишь обозначает общее значение функций.
Можно ли по графику получить точное значение корня?
Иногда можно: например, если точка пересечения имеет координаты, которые легко считать по сетке. Чаще график даёт приближённую оценку, и её не следует выдавать за точное значение.
Что означает касание двух графиков?
При касании графики имеют одну общую точку, хотя не проходят друг сквозь друга в этом месте. Эта точка соответствует корню уравнения; такое положение часто служит границей между случаями с разным числом корней.
Как определить число корней, если графики почти пересекаются?
По неточному рисунку надёжно решить это нельзя: близость графиков ещё не доказывает пересечение. Нужно увеличить точность построения, изменить масштаб или использовать дополнительные вычисления, например подставить значения в уравнение.
Как исследовать число корней уравнения с параметром графически?
Нужно представить уравнение как пересечение двух графиков и проследить, как при изменении параметра перемещается один из них. Отдельно находят критические положения, в которых графики касаются или начинают пересекаться, а затем считают точки пересечения для каждого случая.
3.7. Графическое исследование уравнений
