3.3. Дробные уравнения

Определения и обозначения

Дробное уравнение — уравнение, в котором переменная входит в знаменатель одной или нескольких дробей. Например, в уравнении 5/(x − 2) = 3 переменная x находится в знаменателе. Это определение помогает сразу заметить, что некоторые значения x могут сделать запись бессмысленной.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все знаменатели уравнения не равны нулю. Чтобы её найти, проверяют каждый знаменатель и исключают значения, обращающие его в ноль. ОДЗ нужна, чтобы во время решения не использовать деление на ноль.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Если мы заменяем уравнение равносильным, его решения не меняются. Это понятие помогает понять, при каких условиях преобразования дробного уравнения сохраняют ответ.

Посторонний корень — значение, полученное при преобразованиях, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Например, оно может обращать один из исходных знаменателей в ноль. Проверка нужна, чтобы не включить такое значение в ответ.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что дробь определена только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Если начать преобразования, не исключив запрещённые значения, можно рассматривать выражения, которых в исходном уравнении фактически не существует. Для этого каждый знаменатель приравнивают к нулю и полученные значения переменной записывают как исключения. Например, у знаменателя x − 2 запрещённое значение — x = 2.

Дроби обычно устраняют умножением обеих частей уравнения на общий знаменатель. На ОДЗ этот знаменатель не равен нулю, поэтому умножение обратимо: при переходе к новому уравнению корни не теряются и новые не добавляются. Если же множитель может оказаться нулём, обратимость не гарантирована, поэтому без ОДЗ такой переход делать нельзя. Умножать нужно обе части целиком, а не отдельные слагаемые по выбору.

После освобождения от знаменателей чаще всего получается линейное или квадратное уравнение, потому что множители знаменателей раскрывают и приводят подобные слагаемые. Общий знаменатель выбирают так, чтобы каждый исходный знаменатель входил в него как множитель. Для этого знаменатели удобно разложить на множители и взять каждый необходимый множитель в достаточной степени. Например, для знаменателей x и x − 1 подойдёт x(x − 1).

Найденные значения проверяют, даже если ОДЗ была записана в начале: проверка позволяет заметить вычислительную ошибку и не принять запрещённое значение за корень. Сначала сравнивают ответ с исключениями из ОДЗ, а при сомнении подставляют допустимые значения в исходное уравнение. Подстановка именно в исходную запись важна, потому что при преобразовании знаменатели исчезают и ограничения уже не видны. Значение, которое делает исходный знаменатель нулём, сразу исключают.

Решение оформляют в порядке, который показывает, почему каждый шаг допустим. Сначала записывают ОДЗ, затем общий знаменатель, преобразование к уравнению без дробей и решение этого уравнения. В конце проверяют полученные значения и записывают только подходящие корни. Такая запись помогает увидеть и ход решения, и ограничения, от которых зависит ответ.

Алгоритм решения дробного уравнения

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи к следующему этапу, пока не выполнил предыдущий. Особенно внимательно записывай ОДЗ и умножай на общий знаменатель обе части уравнения. В конце оставляй в ответе только значения, которые допустимы и удовлетворяют исходной записи.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 5/(x − 2) = 3. Здесь один знаменатель, поэтому достаточно исключить его ноль, а затем умножить обе части на x − 2. После этого останется линейное уравнение, которое легко решить.

1. Найдём ОДЗ: x − 2 ≠ 0, значит, x ≠ 2.
2. Умножим обе части на x − 2: 5 = 3(x − 2).
3. Раскроем скобки и решим: 5 = 3x − 6, откуда 3x = 11 и x = 11/3.
4. Проверим ОДЗ: 11/3 ≠ 2, поэтому значение допустимо.

Ответ: x = 11/3. Проверка в исходном уравнении подтверждает равенство: 5/(11/3 − 2) = 3.

Задача 2. Решить уравнение 2/x + 1/(x − 1) = 3/[x(x − 1)]. В знаменателях встречаются множители x и x − 1, поэтому общий знаменатель — их произведение. Сначала исключим нули обоих множителей, чтобы умножение на это произведение было допустимо.

1. ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ 1.
2. Умножим обе части на x(x − 1): получим 2(x − 1) + x = 3.
3. Приведём подобные слагаемые: 3x − 2 = 3, значит, 3x = 5 и x = 5/3.
4. Проверим ОДЗ: 5/3 не равно ни 0, ни 1. Подстановка в исходное уравнение даёт равные части.

Ответ: x = 5/3. Корень подходит, потому что не обращает ни один знаменатель в ноль.

Задача 3. Решить уравнение 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 4/(x² − 1). В правом знаменателе есть разность квадратов: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Это разложение показывает общий знаменатель и значения, которые надо исключить.

1. ОДЗ: x − 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ 1 и x ≠ −1.
2. Умножим обе части на (x − 1)(x + 1): получим (x + 1) + (x − 1) = 4.
3. Упростим: 2x = 4, откуда x = 2.
4. Проверим: 2 не равен 1 или −1. В исходном уравнении обе части равны 4/3.

Ответ: x = 2. Разложение знаменателя помогло выбрать общий множитель, а проверка подтвердила допустимость корня.

Типичные ошибки

Не находят ОДЗ. Тогда значение, обращающее знаменатель в ноль, могут ошибочно оставить в ответе. Так часто происходит, если решающий сосредоточен только на вычислениях после умножения. Проверь себя: до преобразований выпиши нули всех знаменателей и исключи их.

Умножают на общий знаменатель только отдельные слагаемые. Это нарушает равенство, потому что умножается не вся левая или правая часть. Ошибка возникает, когда скобки и границы дробей не учитывают. Проверь себя: каждый член обеих частей должен быть умножен на один и тот же общий знаменатель.

Неверно раскрывают скобки или сокращают дроби. При раскрытии скобок теряют знак, а при сокращении ошибочно делят слагаемые или забывают о нулевом множителе. Чтобы проверить себя, раскрой скобки отдельно и сравни результат с исходной строкой. Сокращай только общий множитель числителя и знаменателя, который на ОДЗ не равен нулю.

Записывают все корни уравнения без дробей. Среди них может быть запрещённое значение или результат ошибки в преобразованиях. Это случается, если принять решение целого уравнения за окончательный ответ. Проверь каждый корень по ОДЗ, а при необходимости подставь его в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для решения дробных уравнений нужны действия с алгебраическими дробями, разложение многочленов на множители и умение решать линейные и квадратные уравнения. Тема продолжает изучение равносильных преобразований: здесь особенно важно учитывать условия, при которых переход сохраняет корни. Те же приёмы используются при решении рациональных неравенств. Они также пригодятся в системах, при работе с функциями, содержащими дробные выражения, и в прикладных задачах о зависимостях величин.

Что запомнить

• В дробном уравнении знаменатель не должен обращаться в ноль.
• ОДЗ находят до основных преобразований.
• Для устранения дробей умножают обе части уравнения на общий знаменатель.
• На ОДЗ умножение на общий знаменатель сохраняет равносильность уравнений.
• После решения нужно проверить корни по ОДЗ и исходному уравнению.
• Недопустимые значения не являются корнями уравнения.