3.3 Вторая формула корней квадратного уравнения

Определения и обозначения

Вторая формула корней квадратного уравнения для уравнения ax² + bx + c = 0 имеет вид x = −b/(2a) ± √((b/(2a))² − c/a), где a ≠ 0. Она называется второй, чтобы отличать её от формулы через дискриминант. Обе формулы находят одни и те же корни, но выражения в них записаны по-разному. Эта запись особенно полезна, когда подстановка коэффициентов в неё проще вычисления дискриминанта.

Выражение b/(2a) — это половина коэффициента при x после деления всего уравнения на a. Сам коэффициент при x после такого деления равен b/a, поэтому его половина — b/(2a). Это число участвует в выделении полного квадрата и определяет часть формулы, от которой отсчитываются корни. Важно сохранять в знаменателе множитель 2.

Подкоренное выражение (b/(2a))² − c/a показывает, какое число нужно извлечь из-под квадратного корня. Его знак определяет количество действительных корней: при положительном значении корней два, при нуле они совпадают, при отрицательном действительных корней нет. Поэтому до вычислений полезно внимательно проверить знак этого выражения. Оно связано с дискриминантом: равно D/(4a²).

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение вида x² + px + q = 0, у которого коэффициент при x² равен 1. Здесь p и q — коэффициенты при x и свободный член. Для него вторая формула записывается так: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Такая запись короче общей, потому что делить коэффициенты на a уже не нужно.

Как это устроено

Начинают с уравнения ax² + bx + c = 0 и делят обе его части на a. Это допустимо, потому что в квадратном уравнении a не равно нулю, а деление обеих частей на одно и то же ненулевое число не меняет корней. Получается x² + (b/a)x + c/a = 0. Коэффициент при x² стал равен 1, поэтому теперь удобно преобразовать первые два слагаемых в квадрат двучлена.

Перенесём c/a вправо: x² + (b/a)x = −c/a. Чтобы левая часть стала квадратом, к ней нужно прибавить квадрат половины коэффициента при x. Коэффициент при x здесь b/a, его половина равна b/(2a), а её квадрат — (b/(2a))². Прибавляем это выражение к обеим частям, чтобы сохранить равенство, и левая часть превращается в полный квадрат.

Получаем (x + b/(2a))² = (b/(2a))² − c/a. Равенство квадратов означает, что выражение в скобках может быть как положительным, так и отрицательным квадратным корнем из правой части. Поэтому записываем x + b/(2a) = ±√((b/(2a))² − c/a). Если правая часть отрицательна, действительных значений x нет: квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Вычтем b/(2a) из обеих частей и получим вторую формулу: x = −b/(2a) ± √((b/(2a))² − c/a). Знак ± объединяет две записи: одну с плюсом, другую с минусом. При положительном подкоренном выражении они дают два разных значения, а при нулевом — одно и то же значение, то есть два совпадающих корня. Отрицательное подкоренное выражение означает отсутствие действительных корней.

Связь с первой формулой видна, если привести выражение под корнем к общему знаменателю: (b/(2a))² − c/a = b²/(4a²) − 4ac/(4a²) = (b² − 4ac)/(4a²) = D/(4a²). Поскольку 4a² положительно, знак этого выражения совпадает со знаком дискриминанта D. При извлечении корня получаем ту же величину, что в формуле через дискриминант, с учётом знака ±. Значит, различается способ записи, а не результат решения.

Две формулы корней квадратного уравнения

Сначала выбери формулу, подстановка в которую приведёт к более простым вычислениям. Если уже находил дискриминант, удобно продолжить первой формулой; если легко вычислить b/(2a), можно использовать вторую. В обоих случаях проверяй количество корней по знаку выражения под корнем.

Разбор задач

Решим три уравнения второй формулой. В каждом случае сначала определим коэффициенты и вычислим выражение под корнем. Затем применим знак ±, не забывая отдельно рассмотреть оба значения, если подкоренное выражение положительно.

Задача 1. Решить уравнение x² + 6x + 5 = 0 второй формулой. Оно приведённое, потому что коэффициент при x² равен 1, поэтому можно использовать упрощённую запись с коэффициентами p = 6 и q = 5. Так не придётся отдельно делить коэффициенты на a.

1. Записываем формулу: x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
2. Подставляем p = 6 и q = 5: x = −3 ± √(9 − 5) = −3 ± 2.
3. Рассматриваем оба знака: x₁ = −3 + 2 = −1, x₂ = −3 − 2 = −5.

Подкоренное выражение положительно, поэтому получились два разных корня. Ответ: −1 и −5.

Задача 2. Решить уравнение 2x² − 8x + 6 = 0 второй формулой. Здесь a = 2, b = −8, c = 6, и уравнение не приведённое. Подставим коэффициенты в общую формулу, аккуратно вычисляя дробь b/(2a).

1. Находим b/(2a) = −8/4 = −2, поэтому −b/(2a) = 2. Это показывает, почему нельзя терять минус перед дробью в формуле.
2. Вычисляем подкоренное выражение: (−2)² − 6/2 = 4 − 3 = 1.
3. Записываем корни: x = 2 ± √1 = 2 ± 1, откуда x₁ = 3 и x₂ = 1.

Подкоренное выражение равно 1, то есть положительно, поэтому корней два. Ответ: 1 и 3.

Задача 3. Решить уравнение 3x² + 6x + 3 = 0 и определить число корней. Коэффициенты равны a = 3, b = 6, c = 3. Особенность задачи в том, что подкоренное выражение окажется нулём.

1. Находим b/(2a) = 6/6 = 1, поэтому первая часть формулы равна −1.
2. Вычисляем подкоренное выражение: 1² − 3/3 = 1 − 1 = 0.
3. Подставляем результат: x = −1 ± √0 = −1, то есть оба значения совпадают.

Уравнение имеет один действительный корень, который считается двойным: x = −1. Ответ: корень −1, корни совпадают.

Типичные ошибки

В знаменателе выражения b/(2a) иногда оставляют только a и записывают b/a. Так происходит, когда забывают, что берут половину коэффициента при x после деления уравнения на a. Проверка: сначала отдельно вычисли коэффициент b/a, затем раздели его пополам. В итоге должен получиться знаменатель 2a.

Можно потерять минус перед b/(2a) и записать x = b/(2a) ± … . Ошибку допускают, если запоминают только дробь, но не всю формулу. Перед подстановкой выпиши начало формулы целиком: −b/(2a), а затем вычисли значение с учётом знака b. Это особенно важно, когда b отрицательно: два минуса могут дать плюс.

Ещё одна ошибка — возвести в квадрат только числитель или забыть скобки в (b/(2a))². Половину коэффициента сначала находят как единое выражение, а затем возводят в квадрат. Проверь себя, подставив число в скобки до возведения, например (−2)² = 4, а не −4. Квадрат относится ко всей дроби, заключённой в скобки.

Знак ± иногда воспринимают как разрешение выбрать только один знак. Тогда находят лишь один из двух корней, хотя при положительном подкоренном выражении формула даёт два разных значения. Для проверки выпиши две строки: одну с плюсом, другую с минусом. Если подкоренное выражение равно нулю, эти строки дадут одинаковый корень, а не два разных.

Связь с другими темами

Перед изучением второй формулы нужно уметь находить корни по дискриминанту и распознавать коэффициенты a, b и c. Ещё пригодятся выделение полного квадрата и решение уравнений вида x² = m: именно на этих умениях основан вывод формулы. Если m отрицательно, действительных решений у такого уравнения нет.

Вторая формула помогает выбирать удобный способ решения квадратного уравнения: иногда вычисления через b/(2a) проще, чем отдельное нахождение дискриминанта. Понимание выделения полного квадрата также пригодится при изучении квадратных функций. Оно помогает связывать уравнение с выражениями, где видны квадрат и сдвиг.

Что запомнить

• Вторая формула получается выделением полного квадрата.
• Для ax² + bx + c = 0 используется выражение b/(2a).
• Подкоренное выражение второй формулы равно D/(4a²).
• Знак ± даёт два значения корня, если подкоренное выражение положительно.
• При нулевом подкоренном выражении корни совпадают.
• При отрицательном подкоренном выражении действительных корней нет.
• Обе формулы корней дают один и тот же результат.