§ 5. Координатная прямая

Определения и обозначения

Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Началом отсчёта служит точка с числом 0, а положительное направление обычно показывают стрелкой вправо. Такое устройство нужно, чтобы каждому числу соответствовала точка и можно было изображать числа наглядно.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения на прямой. Его откладывают от начала отсчёта вправо, чтобы отметить число 1. Благодаря выбранному масштабу можно находить места для других чисел: например, число 3 находится на расстоянии трёх единичных отрезков от нуля.

Координата точки — число, которое показывает положение точки на координатной прямой. Если точка A соответствует числу 4, записывают A(4), а число 4 называют координатой точки A. Эта запись помогает коротко сообщить, где находится точка, и перейти от рисунка к вычислениям.

Координатная прямая помогает представить и отрицательные числа: их отмечают левее нуля, а положительные — правее. Это позволяет сравнивать числа по расположению и находить расстояние между точками, не измеряя каждый раз отрезок линейкой.

Как это устроено

Сначала выбирают точку, которой будет соответствовать ноль: от неё отсчитываются все остальные числа. Затем задают направление, в котором числа увеличиваются; на обычной горизонтальной прямой это направление вправо. Если бы направления не было, нельзя было бы однозначно решить, с какой стороны от нуля отмечать положительные числа.

После этого выбирают единичный отрезок. Его длина задаёт масштаб: если он равен одному сантиметру, то число 2 будет на расстоянии двух сантиметров от нуля. Масштаб можно выбрать другим, но внутри одной прямой он должен оставаться одинаковым, иначе расстояния перестанут соответствовать числам.

Чтобы отметить положительное число, от нуля откладывают нужное количество единичных отрезков вправо. Например, для числа 3 нужно сделать три таких шага. Отрицательные числа отмечают влево: для −3 откладывают три единичных отрезка в противоположную сторону, поэтому −3 и 3 одинаково удалены от нуля.

Дробное число тоже можно показать на прямой. Чтобы отметить ½, единичный отрезок от 0 до 1 делят на две равные части и берут точку посередине. Деление на равные части важно: только тогда положение точки соответствует значению дроби, а не случайному расстоянию.

Положение точек показывает порядок чисел. Если двигаться слева направо, числа возрастают, поэтому точка левее соответствует меньшему числу. Например, −4 меньше −1, хотя 4 больше 1: на прямой точка −4 находится левее точки −1.

Расстояние между двумя точками можно найти как разность большей и меньшей координат. Например, расстояние между точками с координатами −2 и 3 равно 3 − (−2) = 5 единичным отрезкам. Если порядок координат неизвестен, берут модуль их разности: расстояние между a и b равно |a − b|.

Положение чисел на координатной прямой

Сначала найдите ноль и направление стрелки, затем учитывайте знак числа. Для дробей проверьте, на сколько равных частей разделён единичный отрезок: это помогает не перепутать координату с расстоянием.

Разбор задач

Задача. На координатной прямой отмечены точки A(−2) и B(3). Какая точка расположена левее и чему равно расстояние между точками? Решим задачу отдельно в два шага: сначала сравним координаты, а затем вычислим длину отрезка AB. Такой порядок удобен, потому что сравнение отвечает на вопрос о положении, а расстояние всегда неотрицательно.

1. Сравним координаты −2 и 3. Отрицательное число −2 расположено левее нуля, а положительное число 3 — правее, поэтому −2 < 3. Значит, левее находится точка A.
2. Найдём расстояние между точками. От −2 до 0 — два единичных отрезка, от 0 до 3 — ещё три; всего 2 + 3 = 5. То же значение получается по формуле |−2 − 3| = |−5| = 5.

Ответ: левее расположена точка A(−2), расстояние AB равно 5 единичным отрезкам. Обрати внимание: нельзя получить расстояние простым вычитанием координат в произвольном порядке и оставить отрицательный результат. Расстояние — это длина, поэтому оно не может быть меньше нуля.

Проверка по рисунку. Между −2 и 0 должны быть две единицы, а между 0 и 3 — три. Если на схеме получилось не пять шагов, проверь, одинаково ли отложен единичный отрезок и правильно ли учтены обе стороны от нуля. Такая проверка помогает заметить ошибку со знаком до записи ответа.

Типичные ошибки

• Путают знак числа с направлением сравнения. Иногда считают, что −5 больше −2, потому что 5 больше 2. Это происходит, если сравнивать модули, не учитывая расположение точек. Проверь себя: на прямой −5 находится левее −2, значит, −5 < −2.
• Отмечают отрицательное число справа от нуля. Так бывает, если забыть, что стрелка показывает направление увеличения чисел. Перед отметкой числа найди ноль и посмотри, куда направлена стрелка: отрицательное число нужно откладывать в противоположную сторону.
• Меняют масштаб по ходу построения. Например, расстояние от 0 до 1 делают одним, а от 1 до 2 — другим. Такая ошибка возникает, когда деления рисуют на глаз. Проверь, что все единичные отрезки равны, и при необходимости измерь их линейкой.
• Считают расстояние отрицательным. Если координаты вычесть в неправильном порядке, может получиться отрицательное число. Но длина отрезка не бывает отрицательной, поэтому возьми модуль разности координат или вычти меньшую координату из большей.

Связь с другими темами

Координатная прямая связывает числа с их наглядным изображением. С её помощью сравнивают целые числа, в том числе отрицательные, и понимают порядок чисел без вычислений по отдельным правилам. Она также помогает находить расстояние между числами и готовит к работе с координатной плоскостью, где положение точки задают уже двумя координатами.

Что запомнить

• На координатной прямой выбраны начало отсчёта, направление и единичный отрезок.
• Ноль отмечают в начале отсчёта, положительные числа — справа, отрицательные — слева.
• Чем правее расположена точка, тем больше её координата.
• Расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|.