"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Линейное уравнение с одной переменной после упрощения можно записать в виде ax = b. Чтобы его решить, нужно сохранить равенство при преобразованиях, привести подобные слагаемые и определить, чему равен коэффициент a. Если a не равен нулю, есть один корень; если a равен нулю, корней может не быть или их окажется бесконечно много. Умение решать такие уравнения помогает находить неизвестные величины в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одной переменной — это равенство с переменной, значение которой нужно найти. Например, в записи 3x + 2 = 11 переменная обозначена буквой x. Уравнения нужны, чтобы записывать условия задач с неизвестной величиной и находить эту величину с помощью действий.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Если подставить 3 вместо x в уравнение 3x + 2 = 11, получится 11 = 11, поэтому 3 — его корень. Понятие корня позволяет точно ответить, какие значения подходят, а какие нет.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же корни. Например, уравнения x + 4 = 9 и x = 5 равносильны: оба имеют единственный корень 5. При решении удобно заменять уравнение равносильным, если преобразование сохраняет все его корни.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощения можно привести к виду ax = b, где a и b — числа, а x — переменная. Буква a обозначает коэффициент при переменной, то есть число, на которое умножается x. Такой вид помогает быстро установить, сколько уравнение имеет корней и чему равен корень, если он единственный.
Решая уравнение, мы стараемся получить более простое равенство, не меняя его корней. Если к обеим частям прибавить одно и то же число, равенство сохранится: равные величины останутся равными после одинакового изменения. По той же причине обе части можно умножить на одно и то же ненулевое число. Ненулевое условие необходимо, потому что умножение на ноль превращает любые выражения в ноль и может уничтожить информацию о корнях.
Чтобы привести уравнение к виду ax = b, сначала раскрывают скобки, а затем объединяют подобные слагаемые. При раскрытии скобок множитель перед скобками умножают на каждый член внутри неё. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой переменной в одной и той же степени или числа без переменной; их коэффициенты складывают. После таких действий выражения становятся короче, и члены с x можно собрать отдельно от чисел.
Перенос слагаемого через знак равенства — удобное сокращение, а не новое правило. Например, из x − 7 = 18 нужно убрать −7 слева, поэтому прибавляют 7 к обеим частям: x − 7 + 7 = 18 + 7. Получается x = 25, то есть перенесённое слагаемое стало числом с противоположным знаком. Обратный перенос объясняется так же: к обеим частям прибавляют число, противоположное переносимому.
Когда получено ax = b и a ≠ 0, обе части делят на a. Это допустимо, потому что деление выполняется на ненулевое число; слева остаётся x, а справа получается b/a. Поэтому существует ровно один корень: x = b/a. Например, если 4x = 12, то x = 12/4 = 3.
Если a = 0, делить на a нельзя: это деление на ноль. Тогда рассматривают оставшееся равенство 0x = b. При b ≠ 0 слева всегда ноль, поэтому равенство неверно при любом x; при b = 0 обе части равны нулю при любом x. Значит, в первом случае корней нет, а во втором подходят все числа.
| Условие | Вид уравнения | Число корней | Результат |
|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | ax = b | Один | x = b/a |
| a = 0, b ≠ 0 | 0x = b | Ни одного | Равенство неверно при любом x |
| a = 0, b = 0 | 0x = 0 | Бесконечно много | Подходит любое значение x |
Сначала найди коэффициенты a и b в упрощённой записи уравнения. Затем выбери строку с подходящими условиями и прочитай, сколько корней получается. Если a = 0, не дели на него: проверь, равно ли нулю число b.
В первой задаче уравнение уже содержит только один член с x и число. Нужно освободить переменную от слагаемого −7, а затем от множителя 5. Каждый шаг выполняем с обеими частями равенства, чтобы сохранить его корень.
Записываем уравнение: 5x − 7 = 18.
Прибавляем 7 к обеим частям: 5x = 18 + 7 = 25. Так мы убираем −7 слева.
Делим обе части на 5: x = 25/5 = 5. Проверка: 5 · 5 − 7 = 18.
Ответ: x = 5.
Во второй задаче переменная встречается в скобках и за пределами скобок. Сначала раскрываем скобки, чтобы увидеть все слагаемые, а затем собираем члены с x отдельно от чисел. Так уравнение приобретает вид ax = b, и его можно решить делением.
Раскрываем скобки: 3(2x − 1) = 4x + 9 превращается в 6x − 3 = 4x + 9.
Вычитаем 4x из обеих частей: 2x − 3 = 9. Переменная теперь осталась только слева.
Прибавляем 3 к обеим частям: 2x = 12. Затем делим на 2 и получаем x = 6.
Ответ: x = 6. Подстановка даёт 3(12 − 1) = 33 и 24 + 9 = 33, значит, равенство верно.
В третьей задаче важно не спешить делить: после упрощения коэффициент при x может оказаться равным нулю. Если обе части превращаются в одно и то же выражение, равенство верно для любого значения переменной. Проверим это раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.
Раскрываем скобки слева: 2(x + 3) − 4x = 2x + 6 − 4x = 6 − 2x.
Правая часть уже равна 6 − 2x, поэтому получаем 6 − 2x = 6 − 2x. Вычитание одинакового выражения из обеих частей даёт 0 = 0.
Равенство 0 = 0 верно при любом x, значит, любой подставленный корень подходит.
Ответ: бесконечно много корней, подходит любое значение x.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если запомнить только короткое правило и забыть, что за ним стоит. Проверь действие в исходной записи: чтобы убрать слагаемое слева, прибавь к обеим частям противоположное число, например для −5 это +5.
Другая ошибка — делить обе части на выражение с переменной, не проверив, может ли оно быть нулём. Деление на ноль не определено, поэтому таким шагом можно получить неверный результат или потерять корень. Перед делением выясни, при каких значениях выражение равно нулю; делить можно только на заведомо ненулевое число.
Нельзя считать, что уравнение ax = b всегда имеет один корень. Это верно только при a ≠ 0, а при a = 0 уравнение может не иметь корней или быть верным при любом x. После упрощения отдельно проверь коэффициент при переменной и сравни с нулём свободную часть.
Найденное значение иногда не подставляют в исходное уравнение, потому что вычисления кажутся простыми. Но ошибка могла появиться при раскрытии скобок или переносе слагаемого, а проверка обнаружит её. Подставь ответ именно в исходную запись и сравни значения левой и правой частей.
Для решения линейных уравнений нужны действия с рациональными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Если эти навыки пока вызывают затруднения, сначала потренируйся выполнять вычисления со знаками и упрощать выражения. Затем уравнения станут последовательностью знакомых действий.
Линейные уравнения помогают находить неизвестные в текстовых задачах. Например, с их помощью можно определить время или расстояние в задаче на движение, стоимость покупки или вклад участника в совместную работу. Уравнение связывает условие задачи с неизвестной величиной, а его корень даёт искомый ответ.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Чтобы проверить корень, подставь его вместо переменной и вычисли обе части.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям прибавляют число, противоположное переносимому слагаемому. Например, чтобы убрать −7 слева, прибавляют 7 к обеим частям, поэтому справа появляется +7.
Можно ли делить обе части уравнения на выражение с переменной?
Нельзя делить, не проверив, может ли выражение равняться нулю. Деление на ноль не определено, а при делении на выражение, которое иногда равно нулю, можно потерять подходящий корень. Делить можно на заведомо ненулевое число.
Сколько корней может иметь линейное уравнение?
У уравнения ax = b может быть один корень, не быть корней или быть бесконечно много корней. Если a ≠ 0, корень один; если a = 0, число корней зависит от b.
Как понять, что уравнение имеет бесконечно много корней?
После упрощения уравнение должно превратиться в тождество 0x = 0. Оно верно при любом значении x, поэтому любое число является корнем.
7. Линейное уравнение с одной переменной
