"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Уравнение — это равенство с переменной, значение которой пока неизвестно. Нужно найти такие значения переменной, при которых левая и правая части равны. Каждое подходящее значение называют корнем уравнения. Чтобы проверить ответ, подставляют его вместо переменной и вычисляют обе части. Уравнение может иметь один корень, несколько корней или не иметь их вовсе, поэтому при решении важно искать все подходящие значения и проверять каждое.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее переменную, например x + 3 = 7. В числовом равенстве обе части состоят из известных чисел, поэтому его можно проверить сразу. В уравнении истинность равенства зависит от того, какое значение примет переменная. Понятие уравнения помогает записать задачу, в которой неизвестное число связано с известными.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, для x + 3 = 7 таким значением будет 4: после подстановки обе части равны 7. Само по себе число, записанное рядом с переменной или в условии, ещё не становится корнем. Это определение нужно, чтобы отличать подходящее значение от неподходящего.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Если найдено только одно значение, нужно убедиться, что других подходящих значений не осталось. Для этого используют свойства арифметических действий, а затем проверяют полученный ответ. Так решение уравнения завершается не догадкой, а обоснованным результатом.
Проверить, является ли число корнем, можно подстановкой: вместо переменной записывают это число. Затем отдельно вычисляют левую часть — выражение слева от знака равенства — и правую часть, стоящую справа. Если результаты одинаковы, равенство верно и число является корнем. Если они различаются, подставленное значение не подходит.
Значение может встречаться в записи уравнения, но это не доказывает, что оно является корнем. Например, в уравнении x + 3 = 7 число 3 есть в левой части, однако при x = 3 левая часть равна 6, а правая — 7. Значение становится корнем только тогда, когда после подстановки обе части совпадают. Поэтому проверяют всё равенство, а не отдельный фрагмент записи.
Уравнения устроены по-разному, поэтому число корней может отличаться. Уравнение x + 1 = 2 имеет один корень — 1, а x² = 9 имеет два: 3 и −3. Уравнение x² = −1 не имеет корней среди действительных чисел, потому что квадрат любого такого числа не меньше нуля. Эти примеры показывают, почему нельзя заранее считать, что у каждого уравнения есть ровно одно решение.
Простое уравнение часто можно решить, зная связь между компонентами арифметического действия. В равенстве x − 5 = 2 неизвестно уменьшаемое: чтобы найти его, к разности прибавляют вычитаемое, поэтому x = 2 + 5. Получаем x = 7. Такое рассуждение позволяет найти предполагаемый корень, не перебирая значения одно за другим.
После нахождения корня полезно выполнить проверку подстановкой, потому что при вычислениях или выборе действия легко ошибиться. Для x = 7 в уравнении x − 5 = 2 левая часть равна 7 − 5 = 2, а правая часть тоже равна 2. Равенство верно, значит, найденное значение действительно подходит. Проверка подтверждает ответ, но сама по себе не заменяет поиск всех корней.
| Понятие | Что означает | Как проверить или распознать |
|---|---|---|
| Уравнение | Равенство, содержащее переменную. | В записи есть переменная; верность равенства зависит от её значения. |
| Корень уравнения | Значение переменной, при котором равенство верно. | Подставить значение и сравнить левую и правую части. |
| Решить уравнение | Найти все корни или установить, что их нет. | Проверить найденные значения и убедиться, что других решений нет. |
Сначала определите, о каком понятии идёт речь: о записи с переменной, подходящем значении или действии по поиску всех решений. Для проверки корня ориентируйтесь на вычисления обеих частей, а не на внешний вид числа. Последняя строка напоминает, что нужно учитывать и отсутствие решений, и возможность нескольких корней.
Нужно выяснить, превращает ли подстановка числа 4 уравнение в верное равенство. Сравним значения обеих частей, сохранив правую часть без изменений. Равенство результатов будет означать, что число подходит.
Ответ: 4 — корень уравнения. Подстановка подходит, потому что значения левой и правой частей совпали.
Здесь неизвестно уменьшаемое, а разность равна 2. Уменьшаемое находят сложением разности и вычитаемого, поэтому к 2 нужно прибавить 5. После этого подстановка покажет, верно ли найдено значение.
Ответ: x = 7. Проверка дала верное равенство 2 = 2.
В уравнении неизвестно число, квадрат которого равен 9. Поскольку и 3, и −3 при возведении в квадрат дают 9, нужно проверить оба значения. Слово «все» в условии требует не остановиться на первом найденном корне.
Ответ: корни уравнения — 3 и −3. Подстановка каждого числа превращает уравнение в верное равенство.
Ошибка: назвать корнем число, не подставив его в уравнение. Так бывает, когда число заметно в записи и кажется подходящим, хотя его значение ещё не проверяли. Подставьте его вместо переменной и сравните обе части: это покажет, верно ли равенство.
Ошибка: проверить только одну часть уравнения. Вычисление одной стороны не говорит, равна ли она другой, поэтому вывод о корне будет необоснованным. Для самопроверки запишите оба результата отдельно и поставьте между ними знак сравнения.
Ошибка: записать для x² = 9 только корень 3. Обычно забывают, что отрицательное число при умножении на себя даёт положительный результат: (−3)² тоже равно 9. Проверьте оба числа подстановкой и подумайте, не существует ли ещё значения, удовлетворяющего условию.
Ошибка: считать, что у любого уравнения обязательно есть корень. Такое предположение неверно, например x² = −1 не имеет решений среди действительных чисел. Проверьте, возможно ли получить требуемые значения: квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Чтобы разбираться в уравнениях, нужно знать, как устроено числовое равенство и в каком порядке выполняются арифметические действия. Также пригодится связь между сложением и вычитанием, умножением и делением: она помогает находить неизвестный компонент. Например, неизвестное уменьшаемое можно найти, сложив разность и вычитаемое.
Понятия уравнения и корня станут основой для дальнейшего изучения преобразований уравнений. С их помощью учатся находить решения линейных уравнений — уравнений, в которых переменная не возводится в степень выше первой. Умение проверять корни подстановкой пригодится и в новых задачах: оно помогает обнаружить ошибку и подтвердить ответ.
Чем уравнение отличается от обычного равенства?
В обычном числовом равенстве обе части содержат известные числа, и его истинность можно сразу проверить. В уравнении есть переменная, и равенство становится верным только при некоторых её значениях.
Что именно называется корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Чтобы убедиться в этом, подставьте значение и сравните обе части.
Как проверить, является ли число корнем?
Подставьте число вместо переменной и вычислите левую и правую части. Если получились одинаковые значения, число является корнем; если разные — не является.
Может ли уравнение иметь несколько корней?
Да, уравнение может иметь несколько корней. Например, уравнение x² = 9 имеет два корня: 3 и −3, потому что квадрат каждого из этих чисел равен 9.
Что записывать, если уравнение не имеет корней?
Запишите, что уравнение не имеет корней. Например, для уравнения x² = −1 среди действительных чисел решений нет: квадрат любого действительного числа неотрицателен.
6. Уравнение и его корни
