§ 3. Уравнения с одной переменной

Определения и обозначения

Уравнение с одной переменной — равенство, содержащее переменную, например 2x + 1 = 7. Его истинность зависит от значения этой переменной: при одних значениях левая и правая части могут быть равны, при других — нет. Уравнение помогает найти неизвестное число, которое удовлетворяет заданному условию. Переменную обычно обозначают буквой x.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 3 — корень уравнения 2x + 1 = 7, потому что после подстановки получаем 7 = 7. Понятие корня позволяет точно говорить, какие значения подходят. Значение, при котором части не равны, корнем не является.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Иногда подходит одно число, иногда — несколько значений, а иногда ни одно. Поэтому после преобразований нужно установить весь набор подходящих значений, а не остановиться на первом найденном. Проверка подстановкой помогает убедиться, что ответ подходит исходному уравнению.

Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, у них могут быть одинаковые единственные корни или оба уравнения могут не иметь корней. При решении стараются заменять уравнение равносильным, чтобы находить ответ проще. Такое преобразование не должно терять подходящие значения или добавлять неподходящие.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли число корнем, его подставляют вместо переменной в исходное уравнение. Затем отдельно вычисляют левую и правую части, соблюдая порядок действий и раскрывая скобки, если они есть. Если получились одинаковые числа, подстановка превратила уравнение в верное равенство, значит, число подходит. Например, при x = 3 в уравнении 2x + 1 = 7 обе части равны 7.

Корни можно сохранять преобразованиями, которые одинаково действуют на обе части равенства. Если прибавить одно и то же число к равным величинам, они останутся равными; поэтому можно прибавить число к обеим частям уравнения. Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число тоже сохраняет равенство, а обратное действие — деление на это число — возвращает исходное. Нулём умножать или на ноль делить нельзя: такие действия не позволяют выполнить обратное преобразование и могут изменить множество корней.

Перенос слагаемого через знак равенства — удобная сокращённая запись преобразования. Если к обеим частям уравнения прибавить число, противоположное переносимому слагаемому, в прежней части оно исчезнет, а в другой появится с противоположным знаком. Например, из x + 5 = 9 получаем x = 9 − 5. Меняется знак всего переносимого слагаемого, а не только выбранной части записи: коэффициент и выражение внутри слагаемого нельзя менять произвольно.

Линейное уравнение обычно упрощают и приводят к виду ax = b, где a и b — числа. Для этого раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и собирают слагаемые с переменной в одной части, а числа — в другой. Если a ≠ 0, обе части можно разделить на a: получается единственное значение x = b/a. Единственность следует из того, что деление на ненулевое число задаёт одно конкретное значение переменной.

Если после упрощения получилось ax = b и a = 0, делить на a нельзя, поэтому рассматривают равенство 0x = b. При b = 0 получается 0 = 0: оно верно при любом значении x, значит, любое число является корнем. При b ≠ 0 выходит неверное равенство 0 = b, поэтому корней нет. Именно поэтому нельзя заранее считать, что у каждого уравнения ровно один корень.

Число корней уравнения ax = b

Чтобы определить количество корней, сначала сравни коэффициенты a и b с нулём.

Найди строку, условие которой совпадает с получившимися значениями a и b. Не применяй формулу x = b/a, если a равно нулю: делить на ноль нельзя. Последние две строки показывают, почему уравнение может быть верным при любом x или не иметь корней.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, является ли число 3 корнем уравнения 2x + 1 = 7. Чтобы проверить число, не нужно решать уравнение заново: достаточно подставить 3 и сравнить результаты вычислений в обеих частях. Подстановка должна выполняться в исходное равенство, чтобы проверить именно его.

1. Подставляем x = 3: левая часть равна 2 · 3 + 1 = 7.
2. Правая часть равна 7, то есть значения обеих частей совпали.
3. Получилось верное равенство 7 = 7, поэтому число 3 является корнем.

Ответ: да, число 3 — корень уравнения.

Задача 2. Решить уравнение 5x − 8 = 2x + 7. Переменные удобно собрать в одной части, а числа — в другой, чтобы получить слагаемое с x без соседних слагаемых. При переносе каждого слагаемого меняется его знак, потому что это равносильно прибавлению противоположного числа к обеим частям. После упрощения останется уравнение вида ax = b.

1. Переносим 2x влево, а −8 вправо: 5x − 2x = 7 + 8.
2. Приводим подобные слагаемые: 3x = 15.
3. Делим обе части на 3: x = 15/3 = 5.
4. Проверяем подстановкой: 5 · 5 − 8 = 17, а 2 · 5 + 7 = 17.

Ответ: x = 5.

Задача 3. Определить число корней уравнения 3(x − 2) = 3x − 6. Здесь выражение с переменной стоит в обеих частях, поэтому сначала раскроем скобки и упростим равенство. Затем проверим, какое равенство останется: оно покажет, подходит ли одно значение или все значения переменной.

1. Раскрываем скобки слева: 3x − 6 = 3x − 6.
2. Вычитаем 3x из обеих частей: −6 = −6.
3. Получилось верное числовое равенство, не зависящее от x. Значит, исходное уравнение верно при любом значении переменной.

Ответ: корнем является любое число; корней бесконечно много.

Типичные ошибки

Называть число корнем без подстановки рискованно: при преобразованиях можно ошибиться в знаке или вычислении. Проверяй значение именно в исходном уравнении, отдельно вычисляя обе части. Равенство их результатов подтверждает, что число действительно подходит. Если результаты разные, это число не является корнем, даже если промежуточные записи выглядели убедительно.

При переносе слагаемого некоторые меняют знак не у всего слагаемого, а у его части или заодно меняют коэффициент. Например, перенос −3x даёт +3x, а коэффициент 3 при переменной не исчезает сам по себе. Ошибку легко заметить, если представить перенос как прибавление противоположного слагаемого к обеим частям. После решения полезно подставить найденное значение в исходную запись.

Нельзя делить обе части на выражение, которое может стать нулём. Такое деление не определено при нулевом значении и способно исключить его из решения, поэтому часть корней может потеряться. Перед делением выясни, может ли делитель равняться нулю. Деление на постоянное ненулевое число допустимо и сохраняет корни.

Не следует считать, что у каждого уравнения один корень. После упрощения может получиться 0 = 0, и тогда подходят все значения переменной, или 0 = 5, и тогда решений нет. Причина ошибки — привычка всегда делить коэффициент при x, даже когда он равен нулю. Проверь, какой именно вид равенства получился после приведения подобных слагаемых.

Связь с другими темами

Для решения уравнений нужны навыки упрощения буквенных выражений, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Например, без этих действий трудно собрать все слагаемые с переменной в одной части. Уравнения, в свою очередь, помогают записывать условия текстовых задач в виде равенства и находить неизвестные величины. Позже они пригодятся при изучении систем уравнений и линейных функций: умение преобразовывать равенства станет основой для новых способов решения.

Что запомнить

• Корень уравнения превращает его в верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни.
• Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет корни.
• Умножение или деление обеих частей на ненулевое число сохраняет корни.
• В уравнении ax = b при a ≠ 0 корень равен b/a.
• При a = 0 уравнение ax = b либо верно при любом x, либо не имеет корней.