"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Уравнение с одной переменной — равенство, в котором нужно найти все значения переменной, делающие его верным. Такие уравнения помогают находить неизвестные величины в задачах и описывать зависимости. Чтобы решить уравнение, преобразуют его к более простому виду, сохраняя множество корней. При этом учитывают, где выражения имеют смысл, и проверяют, не появились ли посторонние корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одной переменной — равенство с переменной, для которого нужно найти значения, обращающие его в верное равенство. Например, в уравнении 3x − 7 = 11 переменная — x, а обе части равенства связаны знаком «=». Это понятие нужно, чтобы отличать задачу поиска неизвестного значения от обычного вычисления выражения.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение становится верным равенством. Например, число 6 — корень уравнения 3x − 7 = 11, потому что 3 · 6 − 7 = 11. Понятие корня помогает точно формулировать результат решения и проверять его подстановкой.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Если у двух уравнений единственный корень равен 4, они равносильны, даже если записаны по-разному. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие преобразования можно использовать при решении без изменения ответа.
Область допустимых значений — значения переменной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. Например, в дроби 1/(x − 2) нельзя подставить x = 2, потому что знаменатель станет нулём. ОДЗ помогает заранее исключить невозможные значения и не принять их за корни.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Недостаточно обнаружить одно значение, при котором равенство верно: уравнение может иметь несколько корней. Например, уравнение x² = 4 имеет два корня, 2 и −2, поэтому после решения нужно убедиться, что других значений не пропущено.
Если к равным частям прибавить одно и то же выражение, равенство сохранится: обе части изменятся одинаково. Например, из 3 = 3 после прибавления 5 получится 8 = 8. Поэтому прибавление одного выражения к обеим частям позволяет менять вид уравнения, не меняя его корни; в частности, так можно переносить слагаемые.
Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет равенство, а деление на него является обратным действием. Число должно быть ненулевым, иначе деление не определено, а умножение на ноль превращает любое равенство в 0 = 0 и уничтожает информацию о корнях. С выражением, содержащим переменную, осторожность нужна потому, что оно может обратиться в ноль при корне исходного уравнения.
Преобразования помогают свести уравнение к простому виду, из которого легче найти неизвестное. Например, слагаемое можно перенести в другую часть, изменив знак, а затем объединить подобные слагаемые. Эти действия опираются на свойства равенств: при правильном выполнении они сохраняют множество корней и делают вычисления короче.
Некоторые действия не всегда сохраняют равносильность: например, возведение обеих частей в квадрат может дать уравнение с дополнительными корнями. Умножение на выражение, которое может быть нулём, тоже способно изменить множество решений. Поэтому после таких преобразований найденные значения проверяют в исходном уравнении и исключают те, которые не подходят или нарушают ОДЗ.
Таблица показывает, при каких условиях преобразование можно считать безопасным и что происходит с корнями. Перед действием проверьте, выполнено ли указанное условие, особенно если в нём участвует выражение с переменной. Если равносильность могла нарушиться, после решения вернитесь к исходному уравнению и проверьте кандидатов.
| Преобразование | Условие | Что происходит с корнями |
|---|---|---|
| Прибавление одного выражения к обеим частям | Одно и то же выражение прибавляют к обеим частям. | Множество корней сохраняется. |
| Перенос слагаемого в другую часть с изменением знака | Слагаемое переносят с учётом равносильного прибавления противоположного выражения. | Множество корней сохраняется. |
| Умножение или деление обеих частей на число | Число не равно нулю; делить на ноль нельзя. | Множество корней сохраняется. |
| Умножение обеих частей на выражение с переменной | Выражение не должно обращаться в ноль на допустимых значениях; нули нужно рассмотреть отдельно. | Без учёта нулей могут добавиться посторонние корни. |
| Возведение обеих частей в квадрат | После решения проверяют кандидатов в исходном уравнении. | Могут появиться посторонние корни. |
Задача 1. Решить уравнение 3x − 7 = 11. Нужно оставить слагаемое с x в одной части, а числа — в другой. Для этого последовательно применим преобразования, сохраняющие корни, а затем проверим найденное значение. Так мы убедимся, что ответ подходит исходному равенству.
Задача 2. Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0. Здесь квадратный трёхчлен удобно разложить на множители. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма — 5: это 2 и 3. После разложения применим свойство произведения, равного нулю.
Задача 3. Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3/(x − 2). Сначала выясним, при каких x дроби определены: знаменатель не должен быть равен нулю. Затем можно избавиться от одинакового знаменателя, но найденный кандидат обязательно сравнить с ограничением. Это не даст включить в ответ значение, при котором исходное уравнение не имеет смысла.
Называют корнем любое значение, полученное в ходе преобразований, и не проверяют его в исходном уравнении. Так бывает, если не заметить, что возведение в квадрат или умножение на выражение могло добавить лишнее решение. Подставьте кандидат в исходную запись и проверьте равенство, а также его соответствие ОДЗ.
Умножают обе части на выражение, которое может быть равно нулю, и считают, что корни точно сохранились. Например, умножение на x не позволяет автоматически отбросить случай x = 0: он мог быть корнем исходного уравнения. Проверьте нули множителя отдельно или сравните все найденные значения с исходным уравнением.
Забывают исключить значения, при которых знаменатель обращается в ноль. Причина часто в том, что начинают преобразования, не выписав ограничения для дробей. До решения приравняйте каждый знаменатель к нулю и исключите полученные значения из ОДЗ, а в конце проверьте, что ответ ей удовлетворяет.
При переносе слагаемого в другую часть оставляют прежний знак. Это происходит, когда правило заучивают механически и забывают, что перенос основан на прибавлении противоположного выражения к обеим частям. Для самопроверки выполните обратное действие или подставьте полученный ответ в исходное уравнение.
Перед решением уравнений нужны навыки преобразования буквенных выражений: раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Равносильность важна и при решении систем уравнений и неравенств, где преобразуют отдельные записи, сохраняя решения. Проверка корней и учёт ОДЗ особенно пригодятся при дробно-рациональных и более сложных уравнениях. Эти умения помогают отличать допустимое решение от значения, появившегося только из-за преобразования.
Чем корень уравнения отличается от решения уравнения?
Корень — отдельное значение переменной, при котором уравнение верно. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Когда два уравнения называют равносильными?
Когда у них одно и то же множество корней. Например, равносильными могут быть уравнения с одинаковым единственным корнем или оба уравнения без корней.
Почему нельзя делить обе части уравнения на выражение, которое может равняться нулю?
При делении на ноль действие не определено. Кроме того, если выражение обращается в ноль при каком-либо корне, такое деление может привести к потере этого корня.
Зачем находить область допустимых значений до решения дробного уравнения?
Чтобы исключить значения, при которых знаменатель равен нулю и дробь не имеет смысла. Такие значения не могут быть корнями исходного уравнения, даже если появятся при преобразованиях.
Как понять, нужно ли проверять найденный корень?
Подстановка в исходное уравнение полезна всегда, а особенно необходима после возведения обеих частей в квадрат или умножения на выражение с переменной. Также нужно проверить, что корень входит в область допустимых значений.
§5. Уравнения с одной переменной
