Степень с рациональным показателем

Определения и обозначения

При натуральном числе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a: a · a · … · a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись сокращает повторяющееся умножение и служит основой для расширения понятия степени.

Число b называют корнем n-й степени из a, если bⁿ = a; корень обозначают √[n]{a}. Если n чётное, в действительных числах корень существует при a ≥ 0, а √[n]{a} обозначает неотрицательный корень; если n нечётное, корень существует при любом действительном a. Это понятие связывает обратное возведению в степень действие с новой записью степеней.

Для положительного a, натурального n и целого m определяют a^(m/n) = √[n]{aᵐ}, причём дробь m/n сначала сокращают. Например, a^(3/4) означает корень четвёртой степени из a³. Определение позволяет записывать корни через степень и пользоваться общими правилами преобразования.

Для ненулевого a определяют a⁰ = 1, а при a > 0 и рациональном r — a^(−r) = 1/aʳ. Нулевая степень продолжает правила действий со степенями, а отрицательная заменяет степень обратным числом. Основание ноль нельзя брать при отрицательном показателе, потому что возникло бы деление на ноль.

Как это устроено

Показатель 1/n связан с корнем потому, что число, возведённое в n-ю степень, должно дать исходное основание: (a^(1/n))ⁿ = a. Значит, a^(1/n) — это число, которое при таком возведении возвращает a, то есть корень n-й степени. В дроби m/n сначала удобно получить этот корень, а затем возвести результат в степень m.

Определение согласуется с обычными правилами степеней. Если x = √[n]{aᵐ}, то xⁿ = aᵐ, поэтому число x является тем же результатом, который обозначает a^(m/n). Иначе говоря, возведение результата в степень n проверяет, что корень и дробный показатель заданы согласованно; для положительного a выбранное значение корня однозначно.

Сокращение дроби в показателе необходимо, поскольку одна и та же рациональная величина может быть записана по-разному: 2/6 = 1/3. Если использовать несокращённую запись, можно выбрать корень шестой степени там, где после сокращения требуется корень третьей степени, и ошибиться в существовании выражения. В несократимой дроби знаменатель показывает порядок корня, поэтому его проверяют первым.

Правила для целых показателей сохраняются при расширении на рациональные: нулевой показатель даёт единицу, а отрицательный — обратную степень. Это следует из правила деления степеней: aʳ/aʳ = a⁰ = 1 при a ≠ 0, а деление на aʳ можно записать как умножение на 1/aʳ. Поэтому при отрицательном показателе основание обязано быть ненулевым; для положительных оснований обратная степень тоже положительна.

Для рациональных показателей работают свойства степеней: aʳ · aˢ = a^(r+s), aʳ/aˢ = a^(r−s), (aʳ)ˢ = a^(rs) и (ab)ʳ = aʳbʳ. Эти правила следуют из согласования степеней и корней и позволяют упрощать выражения без многократного извлечения корней. Для дробных показателей берут положительные основания; в частном знаменатель не должен быть нулём. Если рассматриваются чётные корни, подкоренные выражения также должны быть неотрицательными.

Степень с рациональным показателем: определение и свойства

Сначала найдите строку, соответствующую действию или виду показателя, затем проверьте условия. В примерах с корнем чётной степени отдельно убедитесь, что подкоренное выражение неотрицательно. При отрицательном показателе проверьте, что основание не равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Представьте 16^(3/4) в виде корня и вычислите значение. Сначала показатель записан несократимой дробью, поэтому знаменатель 4 задаёт корень четвёртой степени, а числитель 3 — степень под корнем. Корень существует, так как 16³ положительно.

1. Используем определение: 16^(3/4) = √[4]{16³}. Так дробный показатель превращается в корень.

2. Представим 16 как 2⁴: √[4]{(2⁴)³} = √[4]{2¹²}. Извлечение корня четвёртой степени делит показатель 12 на 4.

3. Получаем 2³ = 8. Проверка: 8⁴ = 4096, и 16³ тоже равно 4096.

Ответ: 16^(3/4) = √[4]{16³} = 8.

Задача 2. Упростите 27^(2/3) · 27^(1/3) и вычислите значение. Основания совпадают, а действие — умножение, поэтому сначала складываем показатели. Это удобнее, чем отдельно вычислять каждый корень.

1. Применяем правило: 27^(2/3) · 27^(1/3) = 27^(2/3+1/3). Сумма показателей равна 3/3 = 1.

2. Значит, выражение равно 27¹. Степень с показателем 1 равна самому основанию.

3. Получаем 27. Проверка по определению: √[3]{27²} · √[3]{27} = 9 · 3 = 27.

Ответ: 27.

Задача 3. Решите уравнение x^(2/3) = 4 в действительных числах. Поскольку знаменатель показателя нечётный, кубический корень определён и при отрицательном x. Запишем x^(2/3) как (√[3]{x})²: квадрат может равняться 4 при двух значениях корня.

1. Положим t = √[3]{x}. Тогда уравнение принимает вид t² = 4, откуда t = 2 или t = −2.

2. Возвращаемся к x: если √[3]{x} = 2, то x = 8; если √[3]{x} = −2, то x = −8. Оба значения допустимы, потому что кубический корень существует для любого действительного числа.

3. Проверяем: 8^(2/3) = 4, а (−8)^(2/3) = (√[3]{−8})² = (−2)² = 4.

Ответ: x = −8 или x = 8.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a^(m/n) = √[m]{aⁿ}. В такой записи роли числителя и знаменателя перепутаны: знаменатель задаёт корень, а числитель — степень. Ошибка возникает, если читать дробь как одну неделимую команду; проверьте себя на 16^(3/4), которое равно √[4]{16³}, а не корню третьей степени.

Ошибка: не сокращать дробь в показателе до применения определения. Например, 2/6 и 1/3 — одна и та же дробь, но несокращённая запись может привести к неверному выбору порядка корня и неверным выводам об области определения. Сначала сократите дробь и только потом определяйте корень; это также помогает проверить, допустимо ли выражение.

Ошибка: применять a⁰ = 1 при a = 0. Правило нулевого показателя получено для ненулевого основания, а попытка вывести его делением нулевых степеней приводит к делению на ноль. Перед применением правила подставьте основание в условие a ≠ 0; выражение 0⁰ здесь не определено.

Ошибка: складывать показатели при сложении степеней или перемножать основания при умножении степеней. Правило сложения показателей относится к произведению степеней с одинаковым основанием, а не к сумме выражений. Сверьте действие со знаком: 3² · 3⁴ = 3⁶, но 3² + 3⁴ не равно 3⁶; при сомнении вычислите обе части отдельно.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства степеней с целыми показателями, понимание корня n-й степени и умение сокращать дроби. Эти знания объясняют, почему дробный показатель превращается в корень и как его можно преобразовать. Полезно также проверять область допустимых значений, особенно если встречаются чётные корни или деление.

Степени с рациональными показателями помогают упрощать выражения и решать уравнения, переводя корни в удобную форму. Они также подготавливают к изучению степеней с действительными показателями, где показатель может быть не только целым или дробным. Поэтому освоенные правила станут основой для дальнейшего расширения понятия степени.

Что запомнить

• Для a > 0 и натурального n: a^(1/n) = √[n]{a}.

• Для a > 0: a^(m/n) = √[n]{aᵐ}.

• Дробный показатель перед применением определения записывают в несократимом виде.

• Для a ≠ 0: a⁰ = 1.

• Для a > 0: a^(−r) = 1/aʳ.

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.