"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Степень с рациональным показателем расширяет понятие степени на показатели вида m/n, где m — целое, а n — натуральное число. При положительном основании её связывают с арифметическим корнем: am/n = ⁿ√(am). Такое обозначение удобно для преобразования корней, вычислений и решения степенных уравнений. Главное — учитывать знак основания, нулевой и отрицательный показатели, а также область допустимых значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональный показатель степени — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Например, 3/5, −7/2 и 4 = 4/1 — рациональные числа. Такая запись позволяет связать степень с извлечением корня.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа — это неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. Его обозначают ⁿ√a, причём ⁿ√a ≥ 0 и (ⁿ√a)n = a. Это условие особенно важно для корней чётной степени.
Степень с рациональным показателем при допустимом основании определяют так: am/n = ⁿ√(am). При a > 0 формулу можно записать и как (ⁿ√a)m. Определение превращает дробный показатель в понятное сочетание корня и целой степени.
Отрицательная степень с рациональным показателем означает обратное значение соответствующей положительной степени: a−m/n = 1/am/n. Основание при этом не может быть нулём. Правило нужно, чтобы сохранить привычное свойство степеней при переходе к отрицательным показателям.
Дробь m/n в показателе естественно связывают с корнем n-й степени, потому что умножение показателя на 1/n должно соответствовать извлечению корня. Сначала можно найти ⁿ√a, а затем возвести результат в целую степень m. Поэтому при положительном основании записи ⁿ√(am) и (ⁿ√a)m дают одно значение.
Одна и та же дробь может иметь разные записи: m/n = km/kn. Значение степени не меняется, потому что повторное извлечение корней согласуется с извлечением корня произведённой степени: корень степени kn можно рассматривать как последовательное извлечение корней степеней n и k. Для положительного основания это свойство выполняется без проблем, поэтому результат зависит от самого рационального числа, а не от выбранной записи.
Положительное основание удобно тем, что корень любой натуральной степени из него существует и положителен. Для нулевого основания положительная степень допустима, но отрицательная и нулевая степени не определяются. Отрицательное основание требует отдельной проверки: корень нечётной степени существует, а корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует.
Из определения и свойств целых степеней получаются правила: ar · as = ar+s, ar : as = ar−s и (ar)s = ars. Первое правило объясняется сложением показателей при умножении одинаковых множителей, второе — сокращением одинаковых множителей, третье — повторным умножением степени. Для частного и отрицательных показателей нужно дополнительно исключить деление на ноль.
При преобразовании корней нельзя рассматривать формулы отдельно от области допустимых значений. Например, √(a²) = |a|, а не всегда a, потому что арифметический квадратный корень неотрицателен. Поэтому сначала проверяют, существует ли корень и не появляется ли ноль в знаменателе, а затем выбирают знак результата.
В таблице r и s обозначают рациональные показатели. Формулы применяют только тогда, когда все входящие выражения определены; для положительного основания a это обычно означает a > 0.
| Случай или свойство | Условие | Запись | Ограничения |
|---|---|---|---|
| Положительный рациональный показатель | a > 0, r = m/n > 0 | am/n = ⁿ√(am) | Корень должен существовать |
| Отрицательный рациональный показатель | a ≠ 0 | a−r = 1/ar | Нельзя делить на ноль |
| Нулевой показатель | a ≠ 0 | a0 = 1 | 00 не определяют |
| Произведение степеней с одинаковым основанием | Выражения определены | ar · as = ar+s | Основание и результат допустимы |
| Частное степеней с одинаковым основанием | a ≠ 0 | ar : as = ar−s | Делитель не равен нулю |
| Степень степени | Выражения определены | (ar)s = ars | Проверить знак основания |
| Степень произведения | ab допустимо | (ab)r = arbr | Оба выражения должны существовать |
| Степень частного | b ≠ 0 | (a/b)r = ar/br | Знаменатель и степени определены |
Сначала определите, к какому случаю относится выражение, затем проверьте условия. После преобразования полезно сравнить область допустимых значений исходной и полученной записи.
Показатель 2/3 подсказывает извлечь кубический корень, а затем возвести результат в квадрат. Можно действовать и в обратном порядке, но первый путь здесь быстрее. Основание положительно, поэтому определение применимо.
Ответ: 9. Проверка показывает, что 93/2 действительно равно 27.
Здесь одинаковое основание, поэтому сначала объединяем множители, складывая показатели, а затем делим и вычитаем показатель делителя. Чтобы все дробные степени были однозначно определены в действительных числах, возьмём a > 0. При таком условии делитель также не равен нулю.
Ответ: a3/2, a > 0. Если в конкретной задаче рассматриваются действительные значения при других основаниях, их допустимость нужно проверять отдельно.
Для действительных x удобно понимать левую часть как (³√x)2, поскольку кубический корень существует при любом x. Введём y = ³√x, тогда уравнение станет обычным квадратным. После нахождения y обязательно вернёмся к x и проверим оба значения.
Ответ: x = −64; 64. Отрицательный корень нельзя исключать только из-за дробного показателя: здесь знаменатель показателя нечётный.
Ошибка — считать, что am/n всегда можно заменить корнем без проверки условий. Для отрицательного числа корень чётной степени в действительных числах не существует, а запись с нулём в знаменателе может быть запрещена. Проверьте знак основания, чётность n и область допустимых значений.
Иногда забывают, что отрицательный показатель означает обратное число, поэтому подставляют a = 0. Но a−r содержит положительную степень основания в знаменателе, а деление на ноль невозможно. Перед вычислением отрицательной степени убедитесь, что основание не равно нулю.
При умножении степеней с одинаковым основанием некоторые перемножают показатели вместо сложения: ar · as ≠ ars. Произведение показателей относится к возведению степени в степень. Чтобы не ошибиться, определите действие между степенями и запишите соответствующее правило.
Нельзя считать равными преобразованные выражения, если они имеют разные области допустимых значений. Например, √(a²) даёт |a|, а не a для любого действительного a. Подставьте несколько допустимых и недопустимых значений и проверьте знак корня.
Для работы со степенями с рациональными показателями нужны свойства степеней с целыми показателями, действия с дробями и определение арифметического корня. Эти знания объясняют формулы и помогают не нарушать условия применимости. Особенно полезно помнить свойства корней.
Тема используется при преобразовании иррациональных выражений и решении степенных уравнений. Рациональные показатели позволяют записывать корни компактно и применять общие правила степеней. Это упрощает вычисления и преобразования.
Выражение y = xr связывает рациональные степени с функциями и графиками. Знак и знаменатель показателя влияют на область определения и поведение графика. Поэтому проверка основания нужна и при исследовании функций.
Почему рациональный показатель можно записать разными дробями, а значение степени от этого не меняется?
Равные дроби задают одно и то же рациональное число: m/n = km/kn. Для положительного основания свойства корней и степеней дают одинаковый результат, поэтому am/n и akm/kn равны.
Можно ли возводить отрицательное число в степень с рациональным показателем?
Иногда можно, но не всегда. В действительных числах корень нечётной степени из отрицательного числа существует, а корень чётной степени — нет; кроме того, дробь показателя нужно рассматривать после сокращения.
Почему выражение с нулевым основанием и отрицательным показателем не имеет смысла?
Отрицательная степень означает обратное значение положительной степени: a−r = 1/ar. При a = 0 в знаменателе получается ноль, а деление на ноль не определено.
Как понять, что удобнее выполнить сначала: извлечь корень или возвести число в степень?
Выбирайте действие, которое даёт более простые числа. Например, в выражении 272/3 удобно сначала извлечь кубический корень, а затем возвести результат в квадрат.
Всегда ли для степеней с рациональными показателями применимы обычные свойства степеней?
Основные свойства применимы при выполнении условий существования выражений и одинаковом основании. Нельзя автоматически забывать ограничения, особенно при нулевых, отрицательных основаниях и отрицательных показателях.
8. Степень с рациональным показателем
