"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Функция y = ax задаёт прямую пропорциональность: каждому числу x соответствует произведение ax. Число a определяет направление и крутизну графика, а сам график всегда проходит через начало координат. По знаку и модулю коэффициента можно определить, возрастает функция или убывает, сравнить её с другими функциями и быстро построить прямую по двум точкам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = ax — зависимость, в которой каждому значению x соответствует значение y, равное произведению x на постоянное число a. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Такая запись позволяет вычислить результат для любого выбранного x.
Коэффициент a — постоянное число в формуле y = ax. Он показывает, во сколько раз изменяется y при изменении x, а также задаёт наклон и направление графика. По знаку и модулю a можно заранее описать поведение функции.
Прямая пропорциональность — зависимость вида y = ax, при которой отношение y к ненулевому x постоянно и равно a: y/x = a. Это означает, что при увеличении x в несколько раз значение y изменяется во столько же раз. Такая зависимость встречается, например, при постоянной цене товара или постоянной скорости.
График функции y = ax — прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Точка принадлежит графику, потому что при x = 0 получается y = 0. Зная эту точку и ещё одну точку прямой, можно построить весь график.
При каждом фиксированном a формула y = ax задаёт однозначную зависимость: выбранное число x умножается на одно и то же число a, и получается ровно одно значение y. Например, при a = 3 числу 2 соответствует 6, а числу −1 соответствует −3. Поэтому каждому элементу области определения соответствует единственный результат.
Знак a определяет направление изменения функции. Если a > 0, то при увеличении x произведение ax увеличивается, поэтому функция возрастает; если a < 0, положительное изменение x умножается на отрицательное число, и y уменьшается. При a = 0 результат не зависит от x: все значения равны нулю.
График является прямой, потому что зависимость y от x имеет постоянный коэффициент при x. Кроме того, подстановка x = 0 всегда даёт y = 0, поэтому прямая проходит через начало координат. Для построения отмечают O(0; 0), выбирают другое удобное значение x, находят y и проводят прямую через две полученные точки.
Модуль коэффициента показывает крутизну прямой, то есть степень её отклонения от оси Ox. При одинаковом знаке коэффициентов график с большим |a| поднимается или опускается быстрее: например, y = 3x круче, чем y = x. Знак при этом отвечает не за крутизну, а за направление наклона.
При a > 0 знаки x и y совпадают: при x > 0 получаем y > 0, а при x < 0 — y < 0. При a < 0 знаки противоположны: положительному x соответствует отрицательное y и наоборот. При a = 0 функция постоянна, множество её значений состоит из нуля, а график совпадает с осью Ox.
| Свойство | a > 0 | a < 0 | a = 0 |
|---|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | Все действительные числа | Все действительные числа | {0} |
| Монотонность | Возрастает | Убывает | Постоянна |
| Знак y при x > 0 и x < 0 | При x > 0: y > 0; при x < 0: y < 0 | При x > 0: y < 0; при x < 0: y > 0 | y = 0 при любом x |
| График | Прямая через O, направленная вверх слева направо | Прямая через O, направленная вниз слева направо | Ось Ox |
| Точка пересечения с координатными осями | O(0; 0) | O(0; 0) | Вся ось Ox; с осью Oy — в O |
| Чётность | Нечётная | Нечётная | Чётная и нечётная |
Таблица помогает быстро определить свойства функции, не исследуя каждый случай заново. Сначала находят знак a, затем используют соответствующий столбец. Для оценки крутизны прямых дополнительно сравнивают модули коэффициентов.
Условие: постройте график функции y = 3x и определите, возрастает она или убывает. Для построения выберем такие значения x, при которых вычисления будут простыми.
Ответ: график — прямая через точки O(0; 0) и (1; 3); функция возрастает.
Условие: график функции y = ax проходит через точку A(2; −6). Нужно найти коэффициент a и записать формулу функции.
Ответ: a = −3; y = −3x.
Условие: найдите a, если график проходит через B(−4; 10), функция убывает, и сравните её с y = 2x. Координата x точки ненулевая, поэтому коэффициент можно найти делением.
Ответ: a = −2,5; y = −2,5x; функция убывает, а её график круче графика y = 2x и наклонён в противоположную сторону.
Ученик строит график только по одной найденной точке и считает, что начало координат не обязательно принадлежит прямой. Ошибка возникает из-за незнания свойства y = a · 0 = 0. Проверка проста: подставьте x = 0 в формулу и добавьте точку O(0; 0).
Иногда путают знак коэффициента и направление изменения функции. При a > 0 функция возрастает, а при a < 0 убывает, потому что знак произведения при изменении x определяется знаком множителя a. Проверить вывод можно по двум значениям x, например по x = 0 и x = 1.
При a = 0 ошибочно считают, что область определения или множество значений состоит только из нуля. На самом деле любое x допустимо, но результат y всегда равен нулю. Значит, область определения — все действительные числа, а множество значений — {0}.
Нельзя сравнивать крутизну прямых только по числам a, игнорируя их знаки. За направление отвечает знак, а за наклон по крутизне — модуль |a|. Поэтому сравнивайте сначала |a|, а затем отдельно определяйте, совпадают ли направления графиков.
До изучения темы нужны координатная плоскость, построение точек и прямых, чтение формулы y = ax и решение простых уравнений. Эти навыки позволяют находить координаты точек и коэффициент по известной точке.
Функция y = ax служит основой для изучения линейной функции, систем линейных уравнений, а также графического решения уравнений и неравенств. Сравнение коэффициентов помогает понимать взаимное расположение прямых.
Представление о коэффициенте наклона пригодится при изучении производной. Производная также описывает, насколько быстро изменяется функция и в каком направлении направлен её график.
Почему для построения графика y = ax достаточно двух точек?
График функции y = ax является прямой, а через любые две различные точки проходит единственная прямая. Одной из точек всегда можно взять начало координат O(0; 0), а вторую найти по формуле.
Обязательно ли график функции y = ax проходит через начало координат?
Да, потому что при x = 0 получаем y = a · 0 = 0. Поэтому точка O(0; 0) принадлежит графику при любом значении коэффициента a.
Как по графику определить знак и величину коэффициента a?
Если прямая идёт снизу вверх слева направо, то a > 0, а если сверху вниз, то a < 0. Модуль |a| показывает крутизну: чем он больше, тем сильнее прямая отклонена от оси Ox.
Что происходит с функцией и её графиком при a = 0?
Формула превращается в y = 0 · x = 0, поэтому функция постоянна и принимает только нулевое значение. Её график — вся ось Ox, а область определения по-прежнему состоит из всех действительных чисел.
Чем функция y = ax отличается от линейной функции y = ax + b?
Функция y = ax является частным случаем линейной функции при b = 0. Поэтому её график обязательно проходит через начало координат, тогда как график y = ax + b обычно пересекает ось Oy в точке (0; b).
9. Функция у = ах
