Дробно-линейная функция и ее график

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0. Здесь a, b, c, d — числа, а x — аргумент. Условие c ≠ 0 означает, что в знаменателе есть переменная, иначе получилась бы линейная функция или постоянное выражение. Условие ad − bc ≠ 0 исключает случаи, когда числитель и знаменатель пропорциональны и дробь после сокращения становится постоянной.

Область определения — все значения аргумента, при которых выражение имеет смысл. Для дробно-линейной функции нужно исключить значение, обращающее знаменатель cx + d в ноль. Например, для y = (3x − 2)/(x + 4) знаменатель равен нулю при x = −4, значит, это значение не входит в область определения. Такая проверка нужна до вычислений и построения графика.

Асимптота — прямая, к которой ветви графика неограниченно приближаются. У дробно-линейной функции есть вертикальная асимптота, проходящая через запрещённое значение x, и горизонтальная асимптота, к которой график приближается при больших по модулю x. Эти прямые помогают понять расположение графика и служат ориентиром при его построении.

Гипербола — график функции вида y = k/x, где k ≠ 0. Дробно-линейная функция после преобразования записывается как y = k/(x − a) + b, то есть сохраняет форму такой гиперболы, но оказывается сдвинутой. Поэтому для её графика достаточно знать параметры сдвига и коэффициент k.

Как это устроено

Чтобы увидеть связь с гиперболой, выделим в дроби постоянную часть. Разделим ax + b на cx + d: частное равно a/c, а остаток — (bc − ad)/c. Тогда y = a/c + (bc − ad)/(c(cx + d)) = (bc − ad)/c² · 1/(x + d/c) + a/c. Если обозначить k = (bc − ad)/c², a₁ = −d/c и b₁ = a/c, получим y = k/(x − a₁) + b₁. Коэффициент k не равен нулю, потому что ad − bc ≠ 0.

Запрещённое значение аргумента находят из уравнения cx + d = 0: x = −d/c. В преобразованной записи оно обозначено a₁, поэтому вертикальная асимптота имеет уравнение x = a₁. При x = a₁ знаменатель дроби обращается в ноль, и значение функции не существует: график не может иметь точку на этой прямой. При приближении к ней значение y неограниченно возрастает или убывает по модулю.

В записи y = k/(x − a₁) + b₁ слагаемое b₁ сдвигает все значения y на одно и то же число. Поэтому график приближается к горизонтальной прямой y = b₁: при больших по модулю x дробь k/(x − a₁) становится всё ближе к нулю. Замена x на x − a₁ сдвигает график вправо на a₁, а прибавление b₁ — вверх на b₁; при отрицательных значениях сдвиг идёт в обратную сторону. Так график y = k/x превращается в график данной функции.

Знак k показывает, где находятся ветви относительно асимптот, которые пересекаются в центре (a₁; b₁). Если k > 0, величины x − a₁ и y − b₁ имеют одинаковые знаки, поэтому ветви расположены в противоположных углах: справа сверху и слева снизу от центра. Если k < 0, эти величины имеют разные знаки, и ветви оказываются в соседних углах: слева сверху и справа снизу. Такое правило позволяет не перепутать направление ветвей.

При построении сначала проводят прямые x = a₁ и y = b₁ и отмечают их пересечение — центр гиперболы. Затем выбирают несколько значений x по обе стороны от вертикальной асимптоты, подставляют их в формулу и получают точки графика. По знаку k проверяют, в каких углах от центра должны лежать точки, после чего проводят две плавные ветви. Чем ближе ветви подходят к асимптотам, тем точнее видно поведение графика.

Свойства функции y = k/(x − a) + b при k ≠ 0

Пользуйтесь таблицей после того, как привели формулу к виду y = k/(x − a) + b: параметры сразу показывают основные свойства. Сначала определите область и асимптоты, затем отметьте центр и установите знак k. Помните, что параметры в этой записи могут отличаться от букв в исходной формуле.

Разбор задач

Область определения

Найдём область определения функции y = (3x − 2)/(x + 4). В дроби ограничение возникает из-за знаменателя: числитель может быть равен нулю, но знаменатель — нет. Поэтому сначала решим уравнение для знаменателя, а затем исключим найденное значение.

1. Запишем условие: x + 4 ≠ 0.
2. Решим уравнение x + 4 = 0 и получим x = −4.
3. Исключим −4; все остальные числа допустимы.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме x = −4.

Преобразование и асимптоты

Преобразуем y = (2x + 1)/(x − 3), чтобы увидеть сдвинутую гиперболу. Удобно представить числитель как сумму выражения, пропорционального знаменателю, и остатка: 2x + 1 = 2(x − 3) + 7. Тогда дробь распадается на постоянную часть и дробь с числителем 7. Из получившейся записи сразу читаются параметры и асимптоты.

1. Разделим числитель на знаменатель: y = 2 + 7/(x − 3).
2. Сравним с видом y = k/(x − a) + b: k = 7, a = 3, b = 2.
3. По параметрам найдём вертикальную асимптоту x = 3, горизонтальную асимптоту y = 2.

Ответ: y = 7/(x − 3) + 2; асимптоты — x = 3 и y = 2.

Построение графика и пересечения с осями

Построим график той же функции y = (2x + 1)/(x − 3). Преобразованная запись показывает центр и направление ветвей, а пересечения с осями дают удобные точки для чертежа. Чтобы найти пересечение с осью x, приравниваем y к нулю; для оси y подставляем x = 0.

1. Запишем функцию как y = 7/(x − 3) + 2. Асимптоты x = 3 и y = 2 пересекаются в центре (3; 2).
2. Так как k = 7 > 0, ветви лежат в противоположных углах относительно центра: справа сверху и слева снизу.
3. Для пересечения с осью x решим 2x + 1 = 0, получим x = −½ и точку (−½; 0). Для оси y подставим x = 0: y = 1/(−3) = −⅓, точка (0; −⅓).
4. Проведём асимптоты, отметим центр и найденные точки. Добавим точки, вычислив значения функции при других x по обе стороны от 3, и плавно наметим ветви.

Ответ: центр (3; 2), пересечения с осями (−½; 0) и (0; −⅓); ветви направлены в противоположные углы относительно центра.

Типичные ошибки

Первая ошибка — забыть исключить ноль знаменателя и найти область определения только по числителю. Так делают, потому что нуль числителя часто ищут при нахождении пересечения с осью x, но он не запрещает значение аргумента. Проверьте себя подстановкой: для каждого исключённого значения знаменатель должен обращаться в ноль, а для допустимых — быть ненулевым.

Вторая ошибка — перепутать вертикальную асимптоту x = a и горизонтальную y = b. Первая связана с запрещённым значением аргумента, вторая — с тем, к какому уровню стремится график при больших значениях x. Чтобы проверить ответ, посмотрите на переменные: уравнение вертикальной прямой задаёт x, горизонтальной — y.

Третья ошибка — считать, что при сдвиге меняется форма ветвей. Сдвиг меняет положение графика на координатной плоскости, но расстояния и форма исходной гиперболы сохраняются. Проверка проста: сравните преобразованную формулу с y = k/x — изменены только аргумент в знаменателе и прибавленное число.

Четвёртая ошибка — расположить ветви не с той стороны от асимптот, не проверив знак k. Это часто происходит, когда знак коэффициента теряется при преобразовании дроби. Подставьте по одному x слева и справа от вертикальной асимптоты и сравните полученные y с горизонтальной асимптотой: так можно проверить, в каких углах окажутся ветви.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны умения находить область определения дробно-рациональных функций и выполнять преобразования алгебраических дробей. Без них легко пропустить запрещённое значение или неверно выделить постоянную часть. После преобразования дробно-линейной функции становится проще читать её свойства по формуле.

Представление функции как сдвинутой гиперболы пригодится при исследовании функций и построении графиков более сложных рациональных выражений. Приведение формулы к удобному виду помогает находить асимптоты и сравнивать разные графики. Эти приёмы позволяют видеть структуру выражения, а не строить график только по множеству вычисленных точек.

Что запомнить

• Дробно-линейная функция имеет вид y = (ax + b)/(cx + d).
• В её области определения знаменатель не равен нулю.
• При c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0 функцию можно привести к виду y = k/(x − a) + b.
• Асимптоты графика в этой записи — x = a и y = b.
• График получается сдвигом гиперболы y = k/x.
• Знак k определяет расположение ветвей относительно асимптот.