Дробно-линейная функция и её график

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0. Коэффициент c не равен нулю, чтобы знаменатель действительно зависел от x. Условие ad − bc ≠ 0 не позволяет числителю и знаменателю сократиться так, чтобы вместо гиперболы получилась прямая или постоянная функция.

Область определения — все значения x, при которых знаменатель cx + d не равен нулю. В этой функции нужно исключить только x = −d/c: при остальных значениях деление возможно. Это определение помогает сразу понять, где график может существовать.

Асимптоты графика — прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются. Вертикальная асимптота проходит через значение x, где знаменатель обращается в ноль, а горизонтальная показывает уровень, к которому стремится функция при больших по модулю x. По асимптотам удобно находить расположение и ориентир для построения ветвей.

Центр гиперболы — точка пересечения её асимптот. В дробно-линейной функции он задаётся координатами (−d/c; a/c). Центр помогает описать расположение ветвей относительно прямых и понять, как сдвиг графика меняет его положение.

Как это устроено

Чтобы увидеть устройство графика, разделим числитель на знаменатель. После выделения постоянной части функция записывается как y = a/c + (bc − ad)/(c²(x + d/c)), то есть y = k + m/(x − p), где k = a/c, p = −d/c, m = (bc − ad)/c². Число m не равно нулю именно из-за условия ad − bc ≠ 0. Такая запись отделяет сдвиг графика по вертикали и горизонтали от его формы.

Знаменатель исходной дроби обращается в ноль при cx + d = 0, откуда x = −d/c. В преобразованной записи это же значение обозначено p: при x = p дробь m/(x − p) не определена. Когда x приближается к p, знаменатель становится очень маленьким по модулю, а значение дроби неограниченно возрастает или убывает. Поэтому прямая x = p является вертикальной асимптотой.

В записи y = k + m/(x − p) число k задаёт горизонтальную асимптоту. При больших по модулю x дробь m/(x − p) становится всё ближе к нулю, поэтому y приближается к k; для исходной функции k = a/c. Асимптоты x = p и y = k пересекаются в точке (p; k), следовательно, это центр гиперболы. Значение k функция получить не может: для этого добавочная дробь должна была бы равняться нулю, хотя её числитель m ненулевой.

График y = k + m/(x − p) связан с графиком обратной пропорциональности y = 1/x. Модуль m растягивает или сжимает график, отрицательное m отражает его относительно оси, а p и k задают сдвиги вправо или влево и вверх или вниз. Эти изменения перемещают ветви, но не превращают гиперболу в кривую другого вида. Поэтому график удобно строить преобразованиями, не вычисляя много отдельных точек.

Знак m показывает, как расположены ветви относительно центра. Если m > 0, то при x − p > 0 дробь положительна и y − k > 0; при x − p < 0 оба выражения отрицательны. Значит, ветви лежат в первой и третьей четвертях системы координат с началом в центре. Если m < 0, знаки x − p и y − k противоположны, поэтому ветви расположены во второй и четвёртой четвертях относительно центра.

Основные свойства дробно-линейной функции

Сначала по таблице находят запрещённое значение x и две асимптоты, затем отмечают их пересечение — центр гиперболы. Чтобы определить область значений и вид ветвей, можно перейти к записи y = k + m/(x − p). Для выбора четвертей относительно центра дополнительно понадобится знак m.

Разбор задач

1. Область определения и асимптоты

Условие. Найти область определения и асимптоты функции y = (2x + 1)/(x − 1). Сначала выясним, где выражение вообще определено, а затем выделим постоянную часть для горизонтальной асимптоты.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x − 1 = 0, откуда x = 1. Это значение исключаем из области определения.
2. Следовательно, область определения — все действительные числа, кроме 1, а вертикальная асимптота имеет уравнение x = 1.
3. Делим числитель на знаменатель: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3. Поэтому y = 2 + 3/(x − 1), и горизонтальная асимптота имеет уравнение y = 2.

Ответ: x ≠ 1; вертикальная асимптота x = 1, горизонтальная y = 2.

2. Построение графика

Условие. Построить график функции y = 3/(x + 2) − 1. Она уже записана через обратную пропорциональность, поэтому можно использовать график y = 1/x и преобразовать его. Перед построением отметим асимптоты и центр.

1. Коэффициент 3 растягивает график y = 1/x по вертикали в три раза. Поскольку он положительный, отражения ветвей не происходит.
2. Замена x на x + 2 сдвигает график на 2 единицы влево, а вычитание 1 сдвигает его на 1 единицу вниз.
3. Из знаменателя x + 2 получаем вертикальную асимптоту x = −2; из постоянной части −1 — горизонтальную асимптоту y = −1. Их пересечение, точка (−2; −1), является центром.
4. Так как m = 3 > 0, ветви находятся в первой и третьей четвертях относительно центра. Для ориентира можно отметить точку (−1; 2): при x = −1 значение функции равно 3 − 1 = 2.

Ответ: гипербола с центром (−2; −1), асимптотами x = −2 и y = −1; ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно центра.

3. Нахождение параметра по точкам

Условие. График дробно-линейной функции проходит через заданные точки, а его асимптоты имеют уравнения x = 2 и y = −1. Чтобы найти параметр, используем вид функции, который сразу задают эти асимптоты. Поскольку координаты точек в условии не указаны, обозначим их (x₁; y₁) и (x₂; y₂).

1. Вертикальная асимптота x = 2 задаёт сдвиг по горизонтали, а горизонтальная y = −1 — постоянную часть. Поэтому функция имеет вид y = k/(x − 2) − 1.
2. Подставляем первую точку: y₁ = k/(x₁ − 2) − 1. Умножаем на x₁ − 2 и получаем k = (y₁ + 1)(x₁ − 2).
3. Подставляем вторую точку и аналогично получаем k = (y₂ + 1)(x₂ − 2). Для точек одного графика результаты должны совпасть; это проверяет, согласуются ли данные.

Ответ: k = (y₁ + 1)(x₁ − 2), причём также k = (y₂ + 1)(x₂ − 2). Для численного значения необходимы координаты заданных точек.

Типичные ошибки

Иногда запрещённым считают любое значение x, при котором числитель равен нулю. Но нулевое значение числителя допустимо: тогда функция просто равна нулю, если знаменатель не равен нулю. Проверяйте область определения только по знаменателю и отдельно подставляйте найденное значение в него.

Ещё одна ошибка — менять местами асимптоты и записывать x = a/c либо y = −d/c. Вертикальная асимптота возникает там, где знаменатель обращается в ноль, то есть x = −d/c, а горизонтальная равна y = a/c. Сверяйте буквы: у вертикальной прямой задано значение x, у горизонтальной — значение y.

При преобразовании дроби можно потерять знак коэффициента при 1/(x − p). Тогда ветви ошибочно располагают относительно центра, хотя знак m определяет, находятся ли они в первой и третьей или во второй и четвёртой четвертях. Для проверки найдите m = (bc − ad)/c² либо подставьте по одному x слева и справа от центра и сравните знаки y − k.

Не следует считать, что график пересекает асимптоту, потому что она проходит через центр гиперболы. При x = p функция не определена, а значение y = k невозможно получить, поскольку m/(x − p) не равняется нулю. Проверка подстановкой в преобразованную запись показывает, что обе асимптоты задают недостижимые координаты.

Связь с другими темами

Для работы с дробно-линейной функцией нужно уметь находить область определения рационального выражения и делить многочлены. Преобразование к виду y = k + m/(x − p) опирается на знакомый график обратной пропорциональности y = 1/x и правила сдвига, растяжения и отражения графиков. Понимание асимптот и умение анализировать ветви пригодятся при решении рациональных уравнений и неравенств: график помогает увидеть, где функция принимает нужные значения и как меняется её знак.

Что запомнить

• В знаменателе дробно-линейной функции коэффициент при x не равен нулю.
• Условие ad − bc ≠ 0 исключает вырождение графика в прямую или постоянную функцию.
• Область определения исключает x = −d/c.
• Асимптоты имеют уравнения x = −d/c и y = a/c.
• График дробно-линейной функции — гипербола.
• Центр гиперболы — точка пересечения её асимптот.