8.4. Дробно-линейная функция и её график

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)⁄(cx + d), где знаменатель не равен нулю, а график не сводится к прямой. Буквы a, b, c, d — постоянные числа. Такая запись объединяет линейные выражения в числителе и знаменателе, поэтому свойства функции зависят от обоих выражений.

Область определения дробно-линейной функции — все значения x, при которых cx + d ≠ 0. Делить на ноль нельзя, поэтому значение, обращающее знаменатель в ноль, обязательно исключают. Это ограничение нужно учитывать даже после преобразования формулы.

Асимптоты графика — прямые, к которым его ветви неограниченно приближаются. У дробно-линейной функции обычно есть вертикальная асимптота x = p и горизонтальная асимптота y = q. Они помогают понять поведение графика и быстро выбрать его положение на координатной плоскости.

Гипербола — график дробно-линейной функции в невырожденном случае. Он состоит из двух ветвей, расположенных относительно центра симметрии. Центр — точка пересечения асимптот, поэтому по нему удобно ориентировать весь рисунок.

Как это устроено

Сначала находят запрещённое значение из уравнения cx + d = 0. Если c ≠ 0, получается x = −d⁄c; именно это число нельзя подставлять в исходную функцию. Причина запрета не исчезает при сокращении или другом преобразовании: преобразуется формула, но исходная область определения остаётся прежней.

Чтобы увидеть график, при c ≠ 0 выделим постоянную часть: y = a⁄c + (bc − ad)⁄(c(cx + d)). После упрощения получаем y = k⁄(x − p) + q, где p = −d⁄c, q = a⁄c, k = (bc − ad)⁄c². Условие ad − bc ≠ 0 гарантирует, что k ≠ 0 и график действительно не превращается в прямую или постоянную функцию.

В записи y = k⁄(x − p) + q знаменатель обращается в ноль при x = p, поэтому вертикальная асимптота имеет уравнение x = p. При больших по модулю значениях x дробь k⁄(x − p) приближается к нулю, и y приближается к q. Поэтому горизонтальная асимптота задаётся уравнением y = q.

График y = k⁄(x − p) + q получают из y = 1⁄x сдвигом вправо на p, вверх на q и изменением масштаба в |k| раз. Если k > 0, ветви сохраняют положение относительно осей исходной гиперболы, а при k < 0 переходят в противоположные четверти относительно центра. Для построения проводят асимптоты, выбирают точки по обе стороны от x = p и соединяют их плавными ветвями.

Например, при k > 0 точки должны располагаться так, чтобы при x > p значения y были выше q, а при x < p — ниже q. При k < 0 знаки этих отклонений меняются. Ни одна ветвь не пересекает вертикальную асимптоту, а значение y = q недостижимо, потому что дробная часть никогда не равна нулю.

Свойства дробно-линейной функции y = (ax + b)⁄(cx + d)

Таблица собрана для невырожденного случая, когда c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0. Формулы в ней позволяют перейти от исходной записи к удобному виду и сразу определить основные элементы графика. Если нужно построить гиперболу, сначала найдите p, q и k, а затем используйте асимптоты и точки.

Разбор задач

1. Область определения и асимптоты

Найдём область определения и асимптоты функции y = (2x + 1)⁄(x − 1). Ограничение появляется только из знаменателя, а постоянную часть удобно выделить делением числителя на знаменатель. После этого обе асимптоты видны непосредственно из формулы.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x − 1 = 0, поэтому x = 1 исключается.
2. Представляем дробь: y = 2 + 3⁄(x − 1), так как 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.
3. Из знаменателя получаем вертикальную асимптоту x = 1, а из постоянной части — горизонтальную y = 2.

Ответ: область определения — все действительные x, кроме 1; асимптоты: x = 1 и y = 2. Центр симметрии этой гиперболы имеет координаты (1; 2).

2. Построение графика и центр симметрии

Рассмотрим функцию y = 3⁄(x + 2) − 1. Она уже записана в преобразованном виде, поэтому сначала определяем положение асимптот, а затем выбираем удобные значения x. Коэффициент k положителен, значит ветви находятся в верхней правой и нижней левой областях относительно центра.

1. Проводим вертикальную асимптоту x = −2 и горизонтальную асимптоту y = −1.
2. Берём точки: при x = −1 получаем y = 2, при x = 1 получаем y = 0, при x = −3 получаем y = −4.
3. Отмечаем точки по обе стороны от x = −2 и проводим две плавные ветви, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: график — гипербола с центром симметрии (−2; −1). Для точного рисунка достаточно добавить ещё несколько точек, но нельзя изображать только одну ветвь.

3. Восстановление формулы по асимптотам

Пусть асимптоты имеют уравнения x = 2 и y = −1, а график проходит через точку (3; 4). Форма функции сразу определяется асимптотами: y = k⁄(x − 2) − 1. Остаётся найти единственный неизвестный коэффициент k по известной точке.

1. Подставляем координаты точки: 4 = k⁄(3 − 2) − 1.
2. Получаем 4 = k − 1, откуда k = 5.
3. Записываем функцию: y = 5⁄(x − 2) − 1.

Ответ: y = 5⁄(x − 2) − 1. Проверка показывает, что при x = 3 значение функции равно 5 − 1 = 4, а асимптоты совпадают с условием.

Типичные ошибки

Включают в область определения значение, обращающее знаменатель в ноль. Так происходит, если смотрят только на сокращённую или преобразованную запись. Проверяйте себя подстановкой в исходный знаменатель: если он равен нулю, число нужно исключить.

Путают асимптоты местами. Вертикальную асимптоту находят из нуля знаменателя, а горизонтальную — по постоянной части в записи y = k⁄(x − p) + q. Полезная проверка: вертикальная прямая имеет вид x = число, горизонтальная — y = число.

Строят график как прямую или изображают только одну ветвь. Ошибка появляется, когда учитывают отдельные точки, но забывают о разрыве при x = p. Проверьте, что на рисунке есть две части по разные стороны от вертикальной асимптоты.

Считают, что график пересекает асимптоту или проходит через центр симметрии. Асимптоты задают направление приближения, а центр не принадлежит гиперболе. Подставьте координаты предполагаемой точки в y = k⁄(x − p) + q: при k ≠ 0 равенства с асимптотой не получится.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки решения линейных уравнений и понимание запрета деления на ноль. Именно они помогают найти область определения и не вернуть в неё недопустимое значение после преобразований.

Дробно-линейная функция связана с обратной пропорциональностью y = 1⁄x. Её график получают сдвигами и растяжением, поэтому знание преобразований графиков значительно упрощает построение.

Позже такой вид функций встретится при исследовании рациональных выражений. Асимптоты и область определения позволят заранее предсказывать поведение более сложных графиков.

Что запомнить

• Знаменатель дробно-линейной функции не должен быть равен нулю.
• Запись y = k⁄(x − p) + q помогает увидеть основные свойства графика.
• Вертикальная асимптота имеет уравнение x = p.
• Горизонтальная асимптота имеет уравнение y = q.
• Центр симметрии гиперболы — точка пересечения её асимптот.
• Для построения графика нужны обе ветви и точки по обе стороны от вертикальной асимптоты.