8.3. Функция у= k/x (k≠0)

Определения и обозначения

Обратная пропорциональность — зависимость, заданная формулой y = k/x, где k — постоянное ненулевое число. Коэффициент k показывает, чему равно произведение x и y: xy = k. Его знак помогает определить расположение графика, а модуль влияет на расстояние точек от осей. Такая запись удобна, когда одна величина уменьшается при увеличении другой.

График функции y = k/x называется гиперболой. Он состоит из двух отдельных частей — ветвей, расположенных по разные стороны от нуля. Между ветвями есть разрыв, потому что при x = 0 формула не имеет смысла. Понятие ветви помогает описывать график по отдельности слева и справа от оси y.

Область определения функции y = k/x — все действительные значения x, кроме нуля. Область определения — это набор всех значений аргумента, которые можно подставить в формулу. Ноль исключён, потому что деление на ноль не определено. Перед вычислением значения функции полезно проверить, что выбранное x не равно нулю.

Множество значений функции y = k/x — все действительные значения y, кроме нуля. Действительно, при k ≠ 0 и любом допустимом x числитель не равен нулю, поэтому дробь k/x не может стать нулём. И наоборот, для любого y ≠ 0 можно подобрать x = k/y. Это свойство показывает, какие значения может принимать функция.

Как это устроено

Формула задаёт обратную зависимость: при увеличении модуля x модуль y уменьшается, потому что y = k/x. Например, если x увеличить в несколько раз, то y уменьшится во столько же раз, а произведение xy останется равным k. Это видно из равенства xy = k: значение произведения не меняется, пока коэффициент k постоянен. Поэтому зависимость называют обратной пропорциональностью.

Знак коэффициента определяет, совпадают ли знаки x и y. Когда k > 0, произведение xy положительно, значит, x и y либо оба положительные, либо оба отрицательные; поэтому ветви находятся в I и III четвертях. Когда k < 0, произведение отрицательно, а множители имеют разные знаки; ветви оказываются во II и IV четвертях. Так знак коэффициента позволяет определить график ещё до вычисления отдельных точек.

График не пересекает ось y, потому что на ней x = 0, а это значение не входит в область определения. Он не пересекает ось x, поскольку на ней y = 0, а равенство k/x = 0 невозможно при k ≠ 0. При приближении x к нулю значения y по модулю становятся очень большими, а при росте |x| значения y приближаются к нулю. Поэтому прямые x = 0 и y = 0 называют асимптотами: ветви всё ближе подходят к ним, не пересекая.

Из равенства |y| = |k|/|x| следует, что при одном и том же x увеличение |k| увеличивает |y|. Например, если коэффициент заменить на 4k, ордината точки с тем же x увеличится по модулю в четыре раза. Поэтому такая точка отдалится от оси x, хотя знак k и четверти расположения ветвей не изменятся, если знак коэффициента остался прежним. При сравнении графиков важно фиксировать одно и то же значение x.

На каждом из промежутков по отдельности функция при k > 0 убывает, а при k < 0 возрастает. Например, для y = 2/x на правом промежутке при переходе от x = 1 к x = 2 значение y меняется с 2 на 1; на левом от x = −1 к x = −2 — с −2 на −1, то есть тоже увеличивается, поэтому здесь требуется внимательно учитывать направление изменения аргумента: при движении слева направо значения меняются от близких к нулю отрицательных к большим по модулю отрицательным, и функция убывает. Для y = −2/x при движении слева направо на каждом промежутке значения возрастают. Промежутки разделяют, потому что через x = 0 график непрерывно пройти не может.

Свойства функции y = k/x

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите знак k: по нему можно найти четверти и характер изменения функции. Область определения, множество значений и асимптоты одинаковы при обоих знаках коэффициента. Монотонность рассматривают отдельно на каждом промежутке, не объединяя их через x = 0.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 6/x найдите значения y при x = −3, 2 и 6 и укажите область определения. Сначала убедимся, что все три значения x допустимы: ни одно из них не равно нулю. Затем подставим каждое значение в формулу. Область определения не зависит от выбранных примеров x и включает все ненулевые числа.

1. При x = −3 получаем y = 6/(−3) = −2.
2. При x = 2 получаем y = 6/2 = 3.
3. При x = 6 получаем y = 6/6 = 1.
4. Исключаем из области определения x = 0, так как делить на него нельзя.

Ответ: −2, 3 и 1 соответственно; область определения — все действительные x, кроме нуля. Знак результата также можно проверить: при положительном k числа x и y должны иметь одинаковые знаки.

Задача 2. Постройте график функции y = −4/x, составив таблицу значений для нескольких x. Выберем числа по обе стороны от нуля, но не будем брать x = 0. При отрицательном k значения x и y имеют разные знаки, значит, точки должны попасть во II и IV четверти. Вычислим значения и отметим полученные точки на координатной плоскости.

1. Для x = −4 получаем y = −4/(−4) = 1.
2. Для x = −2 получаем y = −4/(−2) = 2.
3. Для x = 2 получаем y = −4/2 = −2.
4. Для x = 4 получаем y = −4/4 = −1.
5. Отмечаем точки (−4; 1), (−2; 2), (2; −2), (4; −1) и проводим через них две ветви, приближающиеся к осям.

Ответ: график — гипербола с ветвями во II и IV четвертях, а её асимптоты — оси координат. Несколько точек помогают наметить ветви, но сами оси не следует считать частью графика.

Задача 3. Точка A(3; b) принадлежит графику y = k/x, причём график проходит через точку B(−2; 6). Найдите k и b. Сначала используем координаты B, поскольку в этой точке известны и x, и y, а значит, можно найти коэффициент. Затем подставим найденный k и абсциссу точки A в формулу, чтобы вычислить b. Такой порядок позволяет не смешивать неизвестные.

1. Для точки B подставляем x = −2 и y = 6: 6 = k/(−2).
2. Умножаем обе части на −2: k = −12.
3. Для точки A подставляем x = 3 и k = −12: b = −12/3 = −4.
4. Проверяем: точка A имеет координаты (3; −4), их произведение равно −12.

Ответ: k = −12, b = −4. Проверка через произведение xy = k подтверждает, что обе точки соответствуют одной функции.

Типичные ошибки

Первая ошибка — включать ноль в область определения. Её допускают, когда смотрят только на то, что x обозначает число, и забывают о знаменателе. Но выражение k/0 не имеет значения. Проверяйте область определения по формуле: значения, обращающие знаменатель в ноль, исключаются.

Вторая ошибка — считать, что функция может принять y = 0. Иногда это кажется возможным, если ожидать, что график пересечёт ось x. Однако при k ≠ 0 числитель ненулевой, и дробь k/x не может равняться нулю. Для проверки подставьте предполагаемое y = 0 в равенство xy = k: получится противоречие.

Третья ошибка — помещать ветви в I и III четверти при k < 0. Обычно путают знак коэффициента со знаками координат, не проверяя их произведение. При отрицательном k произведение xy отрицательно, значит, координаты имеют разные знаки и ветви лежат во II и IV четвертях. Проверяйте выбранную четверть по знакам x и y.

Четвёртая ошибка — объявлять функцию при k > 0 убывающей на всей области определения. Область определения состоит из двух промежутков, между которыми есть разрыв в x = 0; порядок значений при сравнении точек из разных промежутков может не соответствовать одному правилу убывания. Изучайте изменение отдельно слева и справа от нуля. Для самопроверки возьмите по две точки на каждом промежутке и сравните значения при движении слева направо.

Связь с другими темами

Чтобы изучать функцию обратной пропорциональности, нужно уметь подставлять числа в формулу, отмечать координаты на плоскости и определять знаки произведения и частного. Эти навыки помогают правильно вычислять точки и выбирать четверти для ветвей. Они же позволяют проверять ответ без построения всего графика. Особенно важно помнить, что x = 0 недопустим.

Знание функций и их графиков пригодится при изучении преобразований графиков, когда сравнивают, как меняется их расположение. Графический способ помогает находить решения уравнений и систем: решениям соответствуют точки пересечения графиков. Свойства гиперболы дают возможность заранее понять, где такие точки могут находиться. Поэтому умение читать график полезно не только для этой формулы.

Что запомнить

• Функция обратной пропорциональности задаётся формулой y = k/x, где k ≠ 0.
• Область определения и множество значений — все числа, кроме нуля.
• График функции — гипербола из двух ветвей.
• При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях.
• При k < 0 ветви лежат во II и IV четвертях.
• Оси координат являются асимптотами гиперболы.
• Функция монотонна отдельно на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).