"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Функция y = k/x задаёт обратную пропорциональность: при изменении x значение y меняется так, чтобы произведение xy оставалось равным положительному числу k. Её график — гипербола с двумя ветвями в I и III четвертях. Разобравшись с областью определения, знаками, симметрией и убыванием функции, можно строить график, проверять принадлежность точки и находить неизвестное значение по формуле.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функцией обратной пропорциональности называют зависимость вида y = k/x, где k — положительное число. Переменная x находится в знаменателе, а значение y зависит от неё так, что произведение xy постоянно. Эта формула помогает описывать ситуации, в которых увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой, и находить одну координату по другой.
Область определения функции — это все значения аргумента x, для которых формула имеет смысл. В записи y = k/x аргументом нельзя сделать ноль, потому что деление на ноль не определено. Поэтому область определения — все числа, кроме нуля; это нужно проверять до подстановки значения в формулу.
Гипербола — график функции y = k/x, состоящий из двух отдельных ветвей. Каждая ветвь проходит по своей части координатной плоскости, а между ними остаётся разрыв при x = 0. Знание формы графика помогает представить поведение функции и не пытаться соединить ветви через начало координат.
Асимптотой называют прямую, к которой график приближается, но не пересекает её в рассматриваемом поведении. Для функции y = k/x такими прямыми служат обе координатные оси: ось x и ось y. Это понятие объясняет, почему ветви гиперболы подходят к осям всё ближе, но не достигают их.
Умножим обе части равенства y = k/x на x. Это можно сделать, потому что допустимые значения x не равны нулю, и получится xy = k. Значит, для любой точки графика произведение её координат постоянно; если известна одна координата, вторую можно найти делением k на неё.
Поскольку k > 0, произведение xy положительно. Оно может быть положительным, если x и y оба положительны или оба отрицательны: поэтому ветви находятся в I и III четвертях. При x > 0 дробь k/x положительна, а при x < 0 она отрицательна; во II и IV четвертях знаки координат были бы разными, и их произведение не могло бы равняться k.
Обозначим функцию f(x) = k/x. Тогда f(−x) = k/(−x) = −k/x = −f(x). Это равенство показывает, что вместе с точкой (x; y) графику принадлежит точка (−x; −y), расположенная симметрично относительно начала координат. Поэтому достаточно построить одну ветвь и отразить её через начало координат, чтобы получить вторую.
Если при одном и том же x > 0 увеличить k, то значение y = k/x тоже увеличится; при x < 0 значение y станет более отрицательным. В обоих случаях расстояние точки от оси x увеличится, а при сравнении значений при одинаковом x ветвь с большим k расположена дальше от осей. Например, при x = 2 функция y = 2/x даёт y = 1, а y = 4/x — y = 2.
На каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) функция убывает: при увеличении x значение k/x уменьшается. Например, справа от нуля знаменатель растёт и положительная дробь становится меньше; слева от нуля увеличение x также ведёт к уменьшению значений, которые остаются отрицательными. При x, близком к нулю, |y| становится большим, а при больших |x| значение y приближается к нулю, поэтому оси являются асимптотами и ветви к ним приближаются.
| Свойство | Значение или описание |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа, кроме 0 |
| Множество значений | Все действительные числа, кроме 0 |
| Знак функции | y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0 |
| Промежутки убывания | (−∞; 0) и (0; +∞) |
| Симметрия графика | Относительно начала координат |
| Расположение ветвей | I и III координатные четверти |
| Асимптоты | Оси координат |
Таблица помогает быстро проверить основные свойства перед построением графика или решением задачи. Особенно внимательно сверяйте область определения и промежутки убывания: в обоих случаях ноль разделяет рассматриваемые значения на две части. Чтобы проверить точку, воспользуйтесь формулой xy = k.
Задача 1. Для функции y = 6/x найдите значение y при x = 2 и значение x при y = 3. Сначала используем исходную формулу для нахождения y, затем применим постоянство произведения координат для поиска x. В обоих случаях подставляем известное значение и проверяем результат.
Ответ: при x = 2 значение y равно 3; при y = 3 значение x равно 2. Оба результата согласуются с одним и тем же произведением xy = 6.
Задача 2. Постройте график функции y = 4/x, составив таблицу значений. Удобно выбрать ненулевые x, на которые число 4 делится без остатка, чтобы вычисления были простыми. Значения нужно взять и положительные, и отрицательные: тогда будут представлены обе ветви.
Ответ: график — гипербола через перечисленные точки с ветвями в I и III четвертях. Точку (0; y) добавлять нельзя, так как при x = 0 функция не определена.
Задача 3. Точки A(2; 5) и B(−4; −2) претендуют на принадлежность графику одной функции y = k/x, где k > 0. Для принадлежности точке нужно, чтобы её координаты удовлетворяли формуле. Поэтому проверим произведение x на y для каждой точки: оно должно быть одним и тем же числом k.
Ответ: обе точки не могут принадлежать графику одной такой функции. Каждая точка по отдельности задаёт положительное k, но для одной функции k должно быть одинаковым.
Первая ошибка — включать ноль в область определения. Её допускают, когда перечисляют «все числа» и забывают, что x стоит в знаменателе; проверка проста: подставьте x = 0 и убедитесь, что деление невозможно. Поэтому у графика нет точки с абсциссой 0.
Вторая ошибка — считать, что гипербола проходит через начало координат. Кажется, что график должен пересечь оси, но при x = 0 функция не определена, а при любом допустимом x значение k/x не равно нулю. Проверяйте предполагаемую точку (0; 0) подстановкой в исходную формулу: она не подходит.
Третья ошибка — располагать ветви во II и IV четвертях. Это может произойти, если не проверить знаки координат: при k > 0 значения x и y должны иметь одинаковый знак. Перед построением возьмите по одному положительному и отрицательному x и вычислите y; получится пара знаков (+; +) и (−; −).
Четвёртая ошибка — называть функцию убывающей или возрастающей на всей области определения. Такое заключение не учитывает разрыв при x = 0: между отрицательными и положительными числами область определения не содержит этого значения. Проверяйте поведение функции отдельно слева и справа от нуля, то есть на (−∞; 0) и (0; +∞).
Для работы с функцией y = k/x нужно уметь находить координаты точек на плоскости и читать графики: без этого трудно построить гиперболу и определить четверти. Тема опирается на понятие обратной пропорциональности и отличается от прямой пропорциональности, где величины связаны произведением x и y не постоянным, а отношением y/x. Навык чтения и построения графиков пригодится при изучении других функций, а пересечения графиков помогают решать уравнения графическим способом.
Почему x не может быть равен нулю?
В формуле y = k/x число x стоит в знаменателе, а на ноль делить нельзя. Поэтому функция не определена при x = 0.
Почему у функции y = k/x нет значения y = 0?
При любом допустимом x числитель k положителен, поэтому дробь k/x не равна нулю. Иначе из xy = k получилось бы 0 = k, что невозможно при k > 0.
Почему при k > 0 ветви графика находятся в I и III четвертях?
Произведение xy равно положительному числу k, значит, x и y имеют одинаковые знаки. Если оба числа положительны, точка находится в I четверти; если оба отрицательны — в III.
Как изменится график, если увеличить k?
При одном и том же ненулевом x значение y = k/x по модулю станет больше. Поэтому ветви будут дальше от осей при одинаковых значениях x.
Можно ли считать функцию убывающей на всей области определения?
Нет, область определения разделена точкой x = 0 на два промежутка. Функция убывает отдельно на (−∞; 0) и (0; +∞), но убывание на каждом из них не означает убывания на всей области.
8.2. Функция у = k/x (k > 0)
