8.1. Обратная пропорциональность

Определения и обозначения

Обратная пропорциональность — зависимость, при которой произведение соответствующих значений двух величин постоянно. Иначе говоря, для каждой пары значений x и y получается одно и то же число xy. Это свойство позволяет по известной паре находить другие значения и проверять, подходит ли зависимость под эту модель.

Коэффициент обратной пропорциональности — постоянное ненулевое число k в зависимости y = k/x. Он показывает, чему равно произведение xy для любой допустимой пары значений. Коэффициент нужен, чтобы записать конкретную формулу зависимости и вычислять неизвестное значение.

Функция обратной пропорциональности — функция, заданная формулой y = k/x, где k ≠ 0. Здесь x — аргумент, то есть входное значение, а y — соответствующее ему значение функции. Формула помогает увидеть, как изменение x влияет на y, и построить таблицу значений.

Гипербола — график функции y = k/x, состоящий из двух ветвей. Ветвь — отдельная часть графика, расположенная по одну сторону от осей координат. По форме и расположению гиперболы можно судить о знаке коэффициента и о поведении функции.

Как это устроено

При обратной пропорциональности произведение xy равно постоянному числу k. Чтобы выразить y отдельно, разделим обе части равенства xy = k на x. Делить можно только при x ≠ 0, поэтому получаем формулу y = k/x, а ноль исключаем из допустимых значений аргумента.

Коэффициент k не равен нулю, потому что иначе формула y = k/x превращается в y = 0 при всех x ≠ 0 и не описывает взаимное изменение двух ненулевых величин. Если известны x и y, достаточно перемножить их: k = xy. Например, для x = 4 и y = 6 коэффициент равен 24, а значит, зависимость записывается как y = 24/x.

Представим, что x увеличили в n раз, где n — положительное число. Тогда в формуле y = k/x знаменатель стал в n раз больше, поэтому значение y стало в n раз меньше. Если же x уменьшить в n раз, знаменатель уменьшится, а y увеличится в n раз; это и объясняет название зависимости.

Знак коэффициента помогает определить, где будут ветви гиперболы. При k > 0 значения x и y имеют одинаковые знаки: положительному x соответствует положительное y, а отрицательному x — отрицательное y. Поэтому ветви расположены в первой и третьей четвертях; при k < 0 знаки противоположны, и ветви находятся во второй и четвёртой.

При приближении x к нулю значения y по модулю становятся очень большими, а при увеличении модуля x значение y приближается к нулю. Поэтому ветви подходят к координатным осям всё ближе, но не пересекают их: оси называют асимптотами. x = 0 нельзя подставить в формулу, а y не может равняться нулю при k ≠ 0, поэтому нуля нет ни среди значений аргумента, ни среди значений функции.

На графике показано, как знак коэффициента определяет расположение ветвей гиперболы.

Свойства функции обратной пропорциональности y = k/x

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определи знак k, а затем прочитай соответствующий столбец. Область определения и множество значений одинаковы при любом ненулевом k. Промежутки возрастания и убывания рассматриваются отдельно по обе стороны от нуля.

Разбор задач

Задача 1. Найти формулу зависимости и значение y

Зависимость y от x является обратной пропорциональностью. При x = 4 значение y = 6; требуется записать формулу и найти y при x = 12. Так как произведение значений постоянно, сначала найдём коэффициент k.

1. Для известной пары вычисляем k = xy = 4 · 6 = 24.
2. Подставляем коэффициент в общую формулу: y = 24/x.
3. При x = 12 получаем y = 24/12 = 2.

Ответ: y = 24/x; при x = 12 значение y равно 2. Проверка: произведение 12 · 2 тоже равно 24, поэтому найденная пара согласуется с условием.

Задача 2. Построить график функции y = −12/x

Нужно составить таблицу значений, построить график и определить четверти для его ветвей. Выберем несколько ненулевых значений x, чтобы получить точки по обе стороны от вертикальной оси. Коэффициент равен −12, поэтому знаки x и y будут противоположными.

1. Подбираем значения x: −6, −3, −2, 2, 3, 6.
2. Вычисляем y = −12/x: получаем соответственно 2, 4, 6, −6, −4, −2.
3. Записываем пары (x; y): (−6; 2), (−3; 4), (−2; 6), (2; −6), (3; −4), (6; −2), отмечаем их на координатной плоскости и плавно проводим две ветви.

Ответ: ветви графика расположены во второй и четвёртой четвертях. При построении важно не соединять ветви через оси: они являются асимптотами графика.

Задача 3. Скорость и время движения

Автомобиль проходит постоянное расстояние: при скорости 60 км/ч поездка длится 5 часов. Нужно найти время при скорости 75 км/ч и назвать вид зависимости между скоростью и временем. Для одного и того же расстояния произведение скорости и времени постоянно.

1. Находим расстояние: 60 · 5 = 300 км.
2. Делим расстояние на новую скорость: 300/75 = 4 часа.
3. Обозначив скорость через v, а время через t, записываем связь vt = 300, или t = 300/v.

Ответ: потребуется 4 часа; скорость и время при постоянном расстоянии связаны обратной пропорциональностью. Проверка: 75 · 4 = 300 км — то же расстояние, что и в условии.

Типичные ошибки

Формулу y = k/x иногда записывают как y = kx. Так путают обратную пропорциональность с прямой: в обоих случаях есть коэффициент k, но при прямой пропорциональности он умножает x, а при обратной стоит в числителе дроби. Проверка простая: если x увеличить, y при обратной пропорциональности должно уменьшиться; подстановка нескольких значений тоже сразу выявит неверную формулу.

Коэффициент могут искать по разности или отношению значений, а не по произведению. Такая ошибка возникает из-за привычки сравнивать числа сложением или делением, но здесь неизменным остаётся именно xy. Подставь известную пару в условие: если произведение x · y не равно найденному k, вычисление нужно исправить.

Иногда ноль включают в область определения или множество значений. Для x = 0 деление невозможно, а y = 0 не получается при ненулевом k; чаще всего забывают проверить ограничения формулы. Перед построением или решением выпиши отдельно: x ≠ 0 и y ≠ 0.

Ветви гиперболы могут ошибочно расположить не в тех четвертях. Это происходит, если не проверить знаки значений: при положительном k знаки x и y совпадают, а при отрицательном — различаются. Возьми любое положительное x и вычисли y: знак ответа покажет, в какой четверти лежит одна ветвь, а для второй проверь отрицательное x.

Связь с другими темами

Перед изучением обратной пропорциональности полезно уметь отмечать точки на координатной плоскости, находить область определения функции и выполнять деление. Пригодятся также свойства пропорций: равенство произведения xy одному числу лежит в основе формулы y = k/x. Эти знания позволяют переходить от словесного условия к записи зависимости.

Понятие функции и построение графика понадобятся при дальнейшем изучении рациональных функций. Гипербола помогает увидеть, как формула описывает поведение графика, а изменение коэффициента влияет на его расположение. Этот способ рассуждения пригодится и при изучении преобразований графиков.

Модель применяют, когда одна величина уменьшается при увеличении другой, а их произведение сохраняется. Например, при постоянном расстоянии так связаны скорость и время, а при неизменном объёме работы — производительность и время. Похожим образом рассматривают расход материалов, если общий объём или длина остаются заданными.

Что запомнить

• Обратная пропорциональность задаётся формулой y = k/x, где k ≠ 0.
• Для всех пар значений произведение xy равно постоянному числу k.
• Если одну переменную увеличить в n раз, другую нужно уменьшить в n раз.
• Область определения и множество значений функции не содержат нуля.
• График функции y = k/x — гипербола с двумя ветвями.
• При k > 0 ветви расположены в первой и третьей четвертях, при k < 0 — во второй и четвёртой.
• Координатные оси являются асимптотами гиперболы.