Дополнения к главе 3

Определения и обозначения

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0. Его десятичная запись бесконечна и не имеет периода. Это определение помогает отличать такие числа от дробей, даже если их десятичная запись выглядит необычно.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число, изображаемое точкой на числовой прямой. Рациональные числа — это целые числа, дроби и конечные или периодические десятичные дроби. Понятие действительного числа нужно, чтобы описывать все точки прямой, в том числе соответствующие корням вроде √2.

Приближённое значение квадратного корня — рациональное число, близкое к точному значению корня с указанной точностью. Например, вместо точного √2 можно использовать 1,41 с точностью до сотых. Такое значение удобно для вычислений, когда точный ответ нельзя представить конечной десятичной дробью.

Оценка квадратного корня — установление двух соседних чисел, между которыми находится значение корня. Например, из 4 < 7 < 9 следует 2 < √7 < 3. Оценка показывает, в каком промежутке искать более точное значение, и помогает не округлять корень наугад.

Как это устроено

Квадратный корень из натурального числа может оказаться не целым числом, если это число не является квадратом целого числа. Но не всякий нецелый корень иррационален: например, √4/9 = 2/3 рационален. Для √2 нельзя подобрать дробь, квадрат которой равен 2, и это требует доказательства, а не только наблюдения за десятичной записью. Поэтому при работе с корнями различают точные значения и их приближения.

Иррациональность √2 доказывают методом от противного: временно предполагают обратное, а затем находят невозможное следствие. Пусть √2 = m/n, где дробь несократима, то есть числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1. После возведения в квадрат получаем m² = 2n², значит, m² и m чётны, поэтому m = 2k для некоторого целого k. Подстановка даёт n² = 2k², так что n тоже чётно; общий делитель 2 противоречит несократимости дроби.

Этот способ применим и к некоторым другим корням: можно предположить, что корень равен несократимой дроби, возвести равенство в квадрат и исследовать делимость числителя и знаменателя. Например, для √3 такое рассуждение приводит к тому, что числитель и знаменатель должны делиться на 3. Однако вывод нельзя переносить на каждый корень без проверки: √9 = 3 рационально. Сначала выясняют, является ли подкоренное число квадратом подходящего целого числа или дроби.

Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными, потому что обе группы можно изобразить на одной числовой прямой. Каждой точке соответствует ровно одно действительное число, и каждому действительному числу — своя точка. У дроби положение часто находят делением единичного отрезка, а иррациональное число можно отметить по геометрическому построению или приближённо. Например, точка √2 расположена между 1 и 2.

Чтобы найти приближённое значение корня, сначала определяют его целую часть: сравнивают подкоренное число с квадратами соседних целых чисел. Затем проверяют числа с десятыми долями, далее при необходимости — с сотыми и тысячными. Так постепенно сужают промежуток, в котором находится корень, а не выбирают число случайно. Например, для √7 проверка десятых показывает, между какими соседними десятичными числами он лежит.

Рациональные и иррациональные числа; точные и приближённые значения корней

Сначала смотрите на десятичную запись и определение: конечность или периодичность указывают на рациональное число, а непериодичность — на иррациональное. Столбец действительных чисел объединяет оба вида и показывает, что каждому из них соответствует точка прямой. В строке про корни видно, почему точное значение и его приближение — не одно и то же.

Разбор задач

Докажите, что число √2 иррационально.

Докажем от противного: допустим, что √2 можно записать дробью. Сократим её до несократимого вида m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Тогда квадрат равенства даст равенство для целых чисел, в котором можно использовать признак делимости на 2. Полученное противоречие опровергнет предположение.

1. Предположим, что √2 = m/n и дробь m/n несократима. Возводим обе части в квадрат: 2 = m²/n², поэтому m² = 2n².
2. Правая часть чётная, значит, m² чётно, а вместе с ним чётно и m. Запишем m = 2k и подставим: 4k² = 2n², откуда n² = 2k².
3. Получается, что n² чётно и n тоже чётно. Значит, и m, и n делятся на 2, хотя дробь была несократимой; это противоречие.

Ответ: √2 — иррациональное число. Здесь важно было предположить именно несократимую дробь: иначе общий делитель числителя и знаменателя сам по себе не дал бы противоречия. Тот же приём применяют к другим корням, когда делимость приводит к общему делителю.

Оцените значение √7 с точностью до 0,1.

Нужно определить, до каких десятых округляется корень. Сначала используем целые квадраты: 2² = 4, а 3² = 9, поэтому корень находится между 2 и 3. Теперь проверим десятые, возведя соседние числа в квадрат; это позволит установить, по какую сторону от середины интервала находится √7.

1. Проверяем десятые: 2,6² = 6,76, а 2,7² = 7,29. Следовательно, 2,6 < √7 < 2,7.
2. Для округления до десятых сравним с серединой 2,65. Так как 2,65² = 7,0225 > 7, число √7 меньше 2,65.
3. Значит, при округлении до десятых получаем 2,6. Проверка квадратами подтверждает, что √7 находится между 2,6 и 2,7 и ближе к 2,6.

Ответ: √7 ≈ 2,6 с точностью до 0,1. Запись приближённая, потому что квадрат числа 2,6 равен 6,76, а не 7. Проверка середины нужна, чтобы округление не подменять простым отбрасыванием всех знаков после требуемого разряда.

Изобразите на числовой прямой число √5 и найдите его приближённое значение с точностью до 0,01.

Для построения удобно получить отрезок длины √5 по теореме Пифагора. Возьмём прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1: квадрат гипотенузы равен 2² + 1² = 5. Перенос этой гипотенузы на прямую задаёт точное положение числа, а вычисление с сотыми даст его приближение.

1. На числовой прямой отметьте 0 и 2. В точке 2 восстановите перпендикуляр длиной 1 и соедините его конец с 0. Полученная гипотенуза имеет длину √5.
2. Установите границы: 2,23² = 4,9729, а 2,24² = 5,0176. Значит, 2,23 < √5 < 2,24.
3. Проверим округление: середина между границами — 2,235, и 2,235² = 4,995225 < 5. Поэтому √5 больше 2,235 и при округлении до сотых получается 2,24.

Ответ: на прямой отмечают точку на расстоянии √5 от нуля; √5 ≈ 2,24 с точностью до 0,01. Геометрическое построение задаёт точное положение, а десятичная запись — приближённое. Сравнение квадратов подтверждает найденный интервал и округление.

Типичные ошибки

Считать любое бесконечное десятичное число иррациональным — ошибка: запись 0,333… бесконечна, но её период повторяется, а само число равно 1/3. Путают бесконечность записи с отсутствием периода, потому что визуально не всегда легко заметить повтор. Проверяйте, повторяется ли группа цифр; бесконечность без установленной непериодичности не доказывает иррациональность.

Запись √a = ±√a неверна, потому что знак корня обозначает арифметический, то есть неотрицательный корень. Ошибка возникает из-за смешения квадратного корня и решения уравнения x² = a, у которого действительно могут быть два корня. Для самопроверки возведите найденное значение в квадрат и отдельно проверьте, что знак √a неотрицателен.

Нельзя округлять корень до нужного разряда, не выяснив сначала, между какими соседними числами он расположен. Например, простое отбрасывание цифр не показывает, нужно ли увеличить последнюю оставляемую цифру. Сначала найдите интервал по квадратам, затем сравните корень с серединой интервала округления и проверьте ответ.

Доказывать иррациональность только словами «десятичная запись бесконечна» недостаточно. Так допускают ошибку, забывая о бесконечных периодических дробях, которые рациональны. Для строгого доказательства установите непериодичность или используйте рассуждение от противного с дробью и делимостью; затем проверьте, что в доказательстве нет неподтверждённых шагов.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в корнях, нужно знать свойства арифметического квадратного корня и уметь сравнивать числа. Также пригодятся дроби и признаки делимости: они нужны, например, в доказательстве иррациональности √2. Без этих опор трудно отличить точное значение от приближённого.

Тема подготавливает к изучению действительных чисел и преобразований выражений с иррациональными числами. Навык приближения корней пригодится при вычислениях, когда точный ответ неудобно или невозможно записать обычной дробью. В геометрии и физике он помогает находить длины, измерения и другие величины в практических задачах.

Что запомнить

• Иррациональное число нельзя представить отношением двух целых чисел.
• Бесконечная непериодическая десятичная дробь задаёт иррациональное число.
• Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел.
• Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
• Приближённое значение корня нужно записывать с указанием точности.
• Результат приближения можно проверить возведением в квадрат.
• Число √a рационально не для любого натурального a.