1. Построение графиков функций, содержащих модули

Определения и обозначения

Модуль выражения |f(x)| — неотрицательное значение выражения f(x): он равен f(x), если f(x) ≥ 0, и −f(x), если f(x) < 0. Например, если f(x) = −3, то |f(x)| = 3. Это определение помогает понять, как меняются значения функции и какую часть графика нужно перестроить.

График функции y = |f(x)| получают из графика y = f(x): части, расположенные ниже оси Ox, отражают относительно этой оси. Части выше Ox не меняют, потому что их значения уже неотрицательны. Такое правило удобно применять, когда модуль охватывает всё значение функции.

График функции y = f(|x|) получают, отражая правую часть графика y = f(x) относительно оси Oy. В формуле вместо x используется его модуль, поэтому аргумент не бывает отрицательным. Это правило позволяет построить график без вычисления значений отдельно для отрицательных x.

Нуль функции — значение x, при котором f(x) = 0. Нули выражения под модулем помогают найти границы участков, где оно имеет разные знаки. На этих участках модуль раскрывается по-разному, поэтому без нулей можно ошибиться в формуле или в отражении части графика.

Как это устроено

Чтобы построить y = |f(x)|, сначала найдите нули f(x), а затем определите, где исходный график находится выше или ниже Ox. Нули нужны потому, что именно при переходе через них выражение может сменить знак. Между соседними нулями знак не меняется, поэтому на каждом таком промежутке можно понять, какая часть графика останется на месте, а какая будет отражена.

Если f(x) ≥ 0, то |f(x)| = f(x), и график на этом участке сохраняется. Если f(x) < 0, то |f(x)| = −f(x), поэтому каждое значение y меняет знак: точка (x; y) переходит в точку (x; −y). Это и есть отражение относительно Ox, при котором x остаётся тем же, а график оказывается над осью. В точках, где f(x) = 0, отражённая и исходная точки совпадают.

Для y = f(|x|) достаточно сначала построить правую часть графика y = f(x), то есть участок при x ≥ 0. При отрицательном x модуль |x| равен противоположному числу, поэтому значение функции такое же, как в симметричной точке справа. По этой причине правую часть зеркально отражают влево относительно Oy, а исходную левую часть не используют.

Положение модуля в формуле подсказывает, что именно меняется. В записи y = |f(x)| модуль применяется к готовому значению функции, поэтому меняются отрицательные значения y. В записи y = f(|x|) меняется аргумент, который подставляют в функцию; результат не обязательно становится неотрицательным. Чтобы не перепутать преобразования, полезно сначала определить, к чему именно относится знак модуля.

Если в формуле несколько модулей, каждый из них может менять способ записи функции на своих участках. Найдите нули всех выражений под модулями и отметьте их на числовой прямой: они образуют границы промежутков. На каждом промежутке проверьте знаки выражений и замените модуль самим выражением или противоположным ему. Затем постройте полученные части и отдельно проверьте значения в точках перехода.

На графике показаны исходная парабола и результат применения модуля: участки ниже Ox подняты вверх.

Как модуль меняет график функции

Сначала найдите, где именно стоит модуль: у значения функции или у аргумента. Затем выберите соответствующую строку таблицы и выполните преобразование только для указанной части графика. Проверить результат можно по осям симметрии: y = f(|x|) симметричен относительно Oy, а y = |f(x)| целиком не опускается ниже Ox.

Разбор задач

Построить график функции y = |x − 2|.

Под модулем находится выражение x − 2, поэтому сначала строим исходную прямую y = x − 2. Она пересекает Ox там, где x − 2 = 0. После нахождения этой точки определяем, на какой стороне от неё значения отрицательны, и поднимаем соответствующую часть графика.

1. Решаем уравнение x − 2 = 0 и получаем нуль x = 2. Это точка пересечения исходной прямой с осью Ox.
2. При x ≥ 2 выражение x − 2 неотрицательно, поэтому y = |x − 2| = x − 2. Правая часть прямой сохраняется.
3. При x < 2 выражение x − 2 отрицательно, поэтому y = |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x. Левую часть исходной прямой отражаем вверх относительно Ox.
4. Обе части встречаются в точке (2; 0), которая становится вершиной графика. Для проверки можно взять x = 0: значение y равно 2 и не является отрицательным.

Ответ: график состоит из лучей y = 2 − x при x < 2 и y = x − 2 при x ≥ 2; его вершина — точка (2; 0).

Построить график функции y = |x² − 1|.

Исходный график y = x² − 1 — парабола с ветвями вверх, сдвинутая вниз на 1. Чтобы узнать, какие её части нужно отразить, найдём точки пересечения с Ox и проверим знак выражения на полученных промежутках. Если выражение отрицательно, соответствующая часть параболы окажется ниже оси и после применения модуля поднимется вверх.

1. Решаем x² − 1 = 0: получаем x = −1 и x = 1. Эти нули разбивают числовую прямую на три промежутка.
2. При x < −1 и x > 1 выражение x² − 1 положительно или равно нулю, поэтому на этих участках график не меняется.
3. При −1 < x < 1 имеем x² < 1, значит, x² − 1 < 0. Здесь y = |x² − 1| = −(x² − 1) = 1 − x².
4. Часть параболы между нулями отражаем вверх относительно Ox. Точки (−1; 0) и (1; 0) остаются на месте, а середина отражённого участка проходит через (0; 1).

Ответ: y = x² − 1 при x ≤ −1 и x ≥ 1; y = 1 − x² при −1 ≤ x ≤ 1. В точках x = −1 и x = 1 обе формулы дают ноль.

Построить график функции y = |x|² − 2|x|.

Здесь модуль стоит у аргумента, а не у всего значения функции, поэтому нельзя отражать относительно Ox отрицательные значения результата. Вместо этого строим правую часть и переносим её влево зеркально. Для удобства обозначим t = |x|: тогда t ≥ 0, и остаётся построить параболу y = t² − 2t только при неотрицательных t.

1. Преобразуем выражение: t² − 2t = (t − 1)² − 1. Это парабола с вершиной (1; −1), ветви которой направлены вверх.
2. Строим только часть при t ≥ 0. Она начинается в точке (0; 0), проходит через вершину (1; −1) и пересекает ось Ox ещё при t = 2.
3. Так как t = |x|, построенную часть отражаем относительно Oy. Точки с t = 1 и t = 2 дают симметричные значения x = ±1 и x = ±2.
4. Проверяем симметрию: при x и −x модуль одинаков, поэтому и значение y совпадает. Например, при x = 1 и x = −1 получаем y = −1.

Ответ: график симметричен относительно Oy; его вершины — точки (1; −1) и (−1; −1), а нули находятся при x = −2, 0 и 2.

Типичные ошибки

При построении y = |f(x)| иногда отражают весь исходный график относительно Ox. Так делают, когда воспринимают модуль как команду перевернуть график целиком, но не учитывают, что положительные значения уже равны своим модулям. Проверьте себя: график y = |f(x)| не должен уходить ниже Ox, а точки исходного графика выше оси должны сохраниться.

Другая ошибка — при построении y = f(|x|) отражать нижнюю часть графика относительно Ox. Здесь путают модуль аргумента с модулем значения функции: знак модуля относится к x, а не к y. Проверка простая: график y = f(|x|) обязан быть симметричен относительно Oy, но его точки могут иметь отрицательные значения y.

Если не найти все нули выражений под модулем, можно неверно определить участки, на которых меняется формула. Ошибка возникает потому, что знак выражения проверяют лишь в нескольких удобных точках и пропускают отдельную границу. Решите уравнение для каждого выражения под модулем, отметьте все корни и проверьте знак на каждом образовавшемся промежутке.

При построении y = f(|x|) иногда отражают влево левую часть исходного графика, хотя нужно брать правую. Это происходит из-за привычки рассматривать исходный график целиком, не учитывая, что |x| ≥ 0. Проверьте выбранный участок: при любом отрицательном x значение должно совпадать со значением исходного графика при положительном аргументе −x.

Связь с другими темами

Для построения графиков с модулями нужно уметь строить графики простейших функций, читать координаты точек и определять знаки выражений. Эти навыки позволяют увидеть нули, понять, где график проходит выше или ниже Ox, и выбрать нужное преобразование. Если выражение сложно, разложите работу на знакомые шаги: сначала решите уравнение для нулей, затем изучите знаки.

Построенные графики пригодятся при графическом решении уравнений и неравенств. Например, решение уравнения можно искать по точкам пересечения графиков, а для неравенства — выяснять, на каких промежутках один график расположен выше другого. Правильное построение помогает увидеть не только ответ, но и его расположение на координатной плоскости.

Что запомнить

• Модуль значения функции не может быть отрицательным.
• В графике y = |f(x)| части ниже Ox отражаются вверх.
• В графике y = f(|x|) сохраняют правую часть и отражают её влево.
• График y = f(|x|) симметричен относительно Oy.
• Нули выражений под модулем задают границы участков.
• На каждом участке знак выражения определяет, как раскрыть модуль.