2. Уравнение прямой, уравнение окружности

Определения и обозначения

Уравнение прямой — запись, которой удовлетворяют координаты всех точек прямой. Часто его записывают так: y = kx + b, где x и y — координаты точки, а k и b — числа. Такая запись показывает, как связаны координаты точек, и помогает находить точки прямой и строить её график.

Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек окружности и не удовлетворяют координаты точек вне неё. Для окружности с центром (a; b) и радиусом R оно имеет вид (x − a)² + (y − b)² = R². По этому равенству можно определять, какие точки лежат на окружности.

Центр окружности — точка, которая находится на одинаковом расстоянии от всех точек окружности. В уравнении (x − a)² + (y − b)² = R² центр имеет координаты (a; b). Умение читать эти координаты позволяет сразу расположить центр на координатной плоскости.

Радиус окружности — расстояние от её центра до любой точки окружности. В стандартном уравнении радиус обозначен буквой R, а справа записан его квадрат, R². Это помогает найти размер окружности и построить её вокруг найденного центра.

Как это устроено

У точек одной прямой координаты x и y связаны: если выбрать значение x, уравнение определит соответствующее y. Для прямой, не параллельной оси y, изменение y пропорционально изменению x, поэтому зависимость можно записать как y = kx + b. Число b задаёт начальное значение y при x = 0, а k — насколько быстро y меняется, когда меняется x. Так уравнение превращает геометрическую линию в правило вычисления координат её точек.

В уравнении y = kx + b коэффициент k управляет наклоном: если k положителен, прямая поднимается слева направо, а если отрицателен — опускается. Чем больше модуль k, тем заметнее изменение y при том же изменении x. Коэффициент b отвечает за пересечение с осью y, потому что на этой оси x = 0, и тогда y = b. Например, в y = 2x + 1 прямая пересекает ось y в точке (0; 1).

Окружность состоит из точек, расстояние от каждой из которых до одного и того же центра равно R. Если центр имеет координаты (a; b), то для точки (x; y) разности координат равны x − a и y − b. По теореме Пифагора квадрат расстояния между этими точками равен (x − a)² + (y − b)². Приравнивая его квадрату радиуса, получаем уравнение окружности.

Уравнение (x − a)² + (y − b)² = R² сразу сообщает, где находится центр и каков радиус. Например, в (x − 3)² + (y + 2)² = 16 координата центра по x равна 3, а по y — −2, потому что y + 2 = y − (−2). Радиус равен √16 = 4, поскольку правая часть — квадрат радиуса. Для построения отмечают центр, откладывают от него четыре единицы в разных направлениях и проводят окружность через полученные точки.

При проверке принадлежности точки графику координаты подставляют на соответствующие места: первую координату вместо x, вторую вместо y. Для прямой нужно получить верное равенство y = kx + b, а для окружности — равенство суммы квадратов числу R². Если равенство не выполняется, точка не лежит на этой линии. Такая проверка одинаково надёжна и для точки с отрицательными координатами: важно аккуратно учитывать знаки при вычислениях.

Чтобы построить прямую по уравнению, выбирают несколько значений x, вычисляют соответствующие y и отмечают пары координат на плоскости. Двух разных точек достаточно, чтобы провести прямую, но третья точка поможет проверить вычисления. Окружность строят иначе: сначала находят центр и радиус, а затем отмечают точки на одинаковом расстоянии от центра. Значит, уравнения подсказывают не только способ проверки, но и удобный способ построения каждого графика.

Уравнения прямой и окружности

Таблица помогает сравнить, какую информацию даёт уравнение каждой фигуры. Используй строку о параметрах, чтобы прочитать коэффициенты и найти центр с радиусом, а строку о построении — чтобы выбрать последовательность действий.

Разбор задач

Проверить, лежит ли точка A(2; 5) на прямой y = 2x + 1.

Чтобы решить задачу, проверим, дают ли координаты точки верное равенство. Первая координата — x = 2, вторая — y = 5. Подставим обе координаты в уравнение прямой и сравним левую и правую части.

1. Вместо x подставляем 2, вместо y — 5: получаем 5 = 2 · 2 + 1.
2. Вычисляем правую часть: 2 · 2 + 1 = 5.
3. Равенство 5 = 5 верно, значит, координаты точки удовлетворяют уравнению.

Ответ: точка A(2; 5) лежит на прямой y = 2x + 1. Если бы после подстановки получились разные числа, точка не принадлежала бы этой прямой.

Определить центр и радиус окружности (x − 3)² + (y + 2)² = 16 и построить её.

Сопоставим запись с общим видом (x − a)² + (y − b)² = R². В скобке с y стоит плюс, поэтому её нужно прочитать как y − (−2), а не как координату +2. Число 16 справа является квадратом радиуса, поэтому для радиуса понадобится извлечь квадратный корень.

1. Из выражения (x − 3)² находим абсциссу центра: a = 3.
2. Записываем y + 2 как y − (−2), поэтому ордината центра b = −2.
3. Находим радиус: R = √16 = 4.
4. Отмечаем на координатной плоскости центр (3; −2), откладываем от него 4 единицы и проводим окружность через полученные точки.

Ответ: центр окружности — (3; −2), радиус — 4. При построении все точки окружности должны находиться на расстоянии 4 от центра.

Составить уравнение окружности с центром C(−1; 2), проходящей через точку A(2; 6).

Центр уже известен, поэтому осталось найти радиус — расстояние от C до A. Разность абсцисс равна 2 − (−1) = 3, а разность ординат — 6 − 2 = 4. Эти разности являются катетами прямоугольного треугольника, а отрезок CA — его гипотенузой, поэтому применим теорему Пифагора.

1. Вычисляем квадрат расстояния: CA² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
2. Находим расстояние: CA = √25 = 5, значит, радиус R = 5.
3. Подставляем координаты центра и квадрат радиуса в общий вид: (x − (−1))² + (y − 2)² = 5².
4. Упрощаем запись: (x + 1)² + (y − 2)² = 25.

Ответ: уравнение окружности — (x + 1)² + (y − 2)² = 25. Подстановка координат точки A даёт (2 + 1)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25, поэтому точка действительно лежит на окружности.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что b в уравнении y = kx + b задаёт наклон прямой. Так бывает, если перепутать параметры или ориентироваться только на запись. Наклон определяет k, а b показывает значение y при x = 0. Проверь себя, подставив x = 0: уравнение должно дать точку пересечения с осью y.

Ошибка: прочитать координаты центра по знакам внутри скобок, не меняя их. В записи (x − a)² центр имеет координату a, а (y + 2)² соответствует координате −2. Сбивает то, что знак перед числом внутри скобок противоположен знаку координаты центра. Для проверки перепиши выражение как разность: y + 2 = y − (−2).

Ошибка: принять число справа в уравнении окружности за радиус. Оно равно R², потому что в уравнение входит квадрат расстояния от точки до центра. Например, если справа 16, радиус равен 4, а не 16. Проверь себя, возведя найденный радиус в квадрат: должно получиться число из уравнения.

Ошибка: подставить только одну координату точки или перепутать x и y. Это может случайно дать верное промежуточное значение, но не проверяет равенство целиком. Подставляй обе координаты одновременно: первую на место x, вторую на место y. Затем вычисли обе части и проверь, равны ли они.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости, читать их координаты и возводить числа в квадрат. Расстояние между точками и теорема Пифагора объясняют, почему в уравнении окружности складываются квадраты разностей координат. Эти уравнения пригодятся при построении графиков, решении систем уравнений и изучении взаимного расположения геометрических фигур. Например, общие точки прямой и окружности можно искать, рассматривая их уравнения вместе.

Что запомнить

• Точки прямой y = kx + b удовлетворяют этому равенству.
• Коэффициент k задаёт наклон прямой, а b — точку пересечения с осью y.
• Стандартный вид уравнения окружности: (x − a)² + (y − b)² = R².
• Центр окружности в этом уравнении — точка (a; b).
• Радиус окружности равен R, а не R².
• Чтобы проверить принадлежность точки графику, подставь её координаты в уравнение.