"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Корень n-й степени помогает найти число, которое при возведении в степень n даёт заданное число. При нечётном n такое действительное число существует для любого подкоренного числа, а при чётном — только для неотрицательного. Нужно различать все решения уравнения xⁿ = a и арифметический корень: последний при чётном n всегда неотрицателен. Это различие объясняет, почему √[4]{16} = 2, хотя уравнение x⁴ = 16 имеет два решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число b называют корнем n-й степени из числа a, если b является решением уравнения xⁿ = a, то есть bⁿ = a. Здесь n — натуральное число больше 1. Такое определение связывает поиск корня с обратной задачей: вместо возведения числа в степень нужно найти исходное число.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, арифметический квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5² = 25. Требование неотрицательности помогает выбрать одно значение, когда уравнение имеет два решения.
Корень записывают знаком √: число или выражение под ним называют подкоренным выражением, а маленькое число у знака — показателем корня. Например, в √[3]{8} показатель равен 3, а подкоренное выражение — 8. Для квадратного корня показатель 2 обычно не пишут: √a означает √[2]{a}.
Корень уравнения и арифметический корень — не одно и то же. Если n чётно и a положительно, уравнение xⁿ = a имеет два корня: противоположные числа. Арифметический корень обозначает только положительное из них; например, у x² = 9 решения 3 и −3, но √9 = 3.
При нечётном n возведение в степень сохраняет порядок чисел: если одно число меньше другого, то и его нечётная степень меньше. Кроме того, степени отрицательных чисел отрицательны, а степени положительных — положительны. Поэтому уравнение xⁿ = a пересекает нужное значение ровно один раз при любом действительном a. При чётном n и отрицательное, и положительное числа дают неотрицательную степень, поэтому отрицательное a получить нельзя.
Когда n чётно и a > 0, если bⁿ = a, то и (−b)ⁿ = a: знак исчезает при чётном числе множителей. Поэтому решений два, и они противоположны по знаку. Арифметический корень выбирает неотрицательное решение, чтобы знак √[n]{a} обозначал одно определённое число, а не пару чисел.
Возведение в степень и извлечение корня действуют как обратные операции: если bⁿ = a, то корень из a возвращает b. Однако при чётном n обратная операция возвращает только неотрицательное значение, поэтому √[n]{aⁿ} = |a|, а не всегда a. При нечётном n знак сохраняется, и √[n]{aⁿ} = a. Для чётного корня также требуется неотрицательное подкоренное число.
Корень можно распределить на произведение неотрицательных чисел: √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b}. Это верно, потому что при возведении произведения корней в n-ю степень получится ab. Аналогично, если a ≥ 0, b > 0, то √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b}; знаменатель не может быть нулём. Для нечётного n корни из отрицательных чисел также допустимы, но эти формулы нужно применять с учётом области определения.
Чтобы упростить корень из степени, сначала сопоставь показатель степени с показателем корня. Если они равны и чётны, результатом будет модуль исходного числа: корень не может быть отрицательным. Если они равны и нечётны, знак сохраняется. Поэтому √[6]{x⁶} = |x|, а √[3]{x³} = x при любом действительном x.
| Условие | Чётное n | Нечётное n |
|---|---|---|
| Допустимые значения a для существования действительных корней | a ≥ 0 | Любое действительное a |
| Количество действительных корней при a > 0 | 2 | 1 |
| Количество действительных корней при a = 0 | 1 | 1 |
| Количество действительных корней при a < 0 | 0 | 1 |
| Знак арифметического корня | Неотрицательный при a ≥ 0 | Совпадает со знаком a (при a = 0 корень равен 0) |
Сначала найди в таблице строку с условием, затем смотри столбец для чётного или нечётного n. Так можно быстро проверить, существует ли действительный корень и сколько решений имеет уравнение. Арифметический корень при чётном n — выбранное неотрицательное значение, а не полный список решений.
Задача 1. Вычислите арифметические корни √[3]{−27} и √[4]{81}. Нужно найти числа, чьи степени совпадают с подкоренными выражениями. Сначала учитываем чётность показателя: для нечётного корня отрицательное значение возможно, для чётного результат должен быть неотрицательным.
Ответ: −3 и 3.
Задача 2. Упростите √[6]{64x⁶} при действительном x. Выделим множители под корнем: 64 = 2⁶, а x⁶ — шестая степень x. Поскольку показатель корня чётный, извлечённый результат должен оставаться неотрицательным при любом значении x.
Ответ: 2|x|.
Задача 3. Решите x⁴ = 16 и отдельно укажите √[4]{16}. Сначала найдём все решения уравнения, а затем вспомним, что арифметический корень обозначает только неотрицательное число.
Ответ: x = −2 и x = 2; √[4]{16} = 2.
Ошибка: считать, что корень чётной степени существует из отрицательного числа. Такое предположение возникает из-за того, что отрицательные числа могут быть корнями уравнений с нечётной степенью. Проверяй знак подкоренного выражения: при чётном показателе оно должно быть неотрицательным.
Ошибка: записывать √[4]{16} = ±2. Два знака подходят для ответа на вопрос о решениях уравнения x⁴ = 16, но радикал обозначает арифметический корень. Для проверки возведи именно записанное значение в четвёртую степень и учти, что знак корня выбирает неотрицательное число.
Ошибка: упрощать √[6]{x⁶} до x. Так забывают, что корень чётной степени неотрицателен, а x может быть отрицательным. Правильно записать |x|: например, при x = −1 под корнем получаем 1, и результат равен 1, а не −1.
Ошибка: применять формулы для корня произведения или частного без проверки условий. Причина — желание сразу разделить выражение на удобные множители или части. Перед преобразованием проверь допустимость подкоренных чисел, а для частного — ещё и то, что знаменатель не равен нулю.
Для работы с корнями нужно знать возведение в степень с натуральным показателем и свойства степеней: например, как найти (−2)⁴ или представить 64 как 2⁶. Также пригодится решение уравнений вида xⁿ = a и проверка корней подстановкой. Новые правила используют при преобразовании выражений с радикалами и решении уравнений. Позже корни помогут изучать степенные функции, график которых зависит от показателя и допустимых значений переменной.
Чем корень n-й степени отличается от арифметического корня?
Корень n-й степени — любое действительное решение уравнения xⁿ = a, если такие решения существуют. Арифметический корень из неотрицательного числа — только неотрицательное значение корня. Например, уравнение x⁴ = 16 имеет два корня, а √[4]{16} обозначает только 2.
Почему корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным?
Чётная степень любого действительного числа неотрицательна: и положительное, и отрицательное число при возведении в чётную степень дают результат не меньше нуля. Поэтому получить отрицательное подкоренное число таким возведением нельзя. Например, действительного решения уравнения x² = −9 нет.
Почему уравнение x⁴ = 16 имеет два решения, а √[4]{16} — одно значение?
Числа 2 и −2 при возведении в четвёртую степень дают 16, поэтому оба являются решениями уравнения. Знак радикала с чётным показателем обозначает арифметический корень — неотрицательное число. Значит, √[4]{16} = 2.
Когда при извлечении корня из степени нужно ставить модуль?
Модуль нужен, если показатель корня чётный: √[n]{aⁿ} = |a|. Это связано с тем, что значение корня чётной степени не может быть отрицательным. При нечётном n модуль не ставят: √[n]{aⁿ} = a.
Можно ли извлекать корень из произведения или частного?
Можно, если подкоренные числа неотрицательны, а знаменатель частного не равен нулю. Тогда корень из произведения равен произведению корней, а корень из частного — частному корней. Условия важны: например, корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не определён.
Корень п-ой степени
