"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Степенная функция y = xⁿ задаёт число y как произведение x на себя n раз, где n — натуральный показатель степени. По чётности n можно сразу определить, какие значения принимает функция, как расположен её график и обладает ли он симметрией. Эти свойства помогают строить графики, сравнивать степени и решать уравнения. Разберём, как вывести их из формулы и применить при решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — функция вида y = xⁿ, где n — натуральное число. Показатель n указывает, сколько раз x является множителем: например, x⁴ = x · x · x · x. По показателю можно предсказать знак результата и форму графика, не вычисляя много значений.
Чётная функция — функция, для которой f(−x) = f(x) при всех x из области определения. Значит, противоположные аргументы дают одинаковый результат, поэтому график отражается сам в себя при зеркальном отражении относительно оси Oy. Это свойство позволяет строить левую часть графика по правой.
Нечётная функция — функция, для которой f(−x) = −f(x) при всех x из области определения. При замене аргумента на противоположный меняется знак значения, а график сохраняет вид при повороте на 180° вокруг начала координат. Это помогает находить точки графика парами и проверять симметрию.
Заменим в формуле x на −x: получится y = (−x)ⁿ. Степень означает умножение n одинаковых множителей, поэтому минус при чётном n встречается чётное число раз и исчезает: (−x)ⁿ = xⁿ. При нечётном n один минус остаётся, значит (−x)ⁿ = −xⁿ; отсюда следуют чётность или нечётность функции.
Натуральная степень определена для любого действительного основания: числа можно перемножить и тогда, когда x отрицателен или равен нулю. Поэтому область определения — все действительные числа. Если n чётное, результат неотрицателен, и любое число y ≥ 0 получается при x = ⁿ√y; если n нечётное, для каждого действительного y есть действительное решение x = ⁿ√y, так что множество значений — все действительные числа.
Симметрия графика следует из равенств для f(−x). У чётной функции точки (x; y) и (−x; y) обе лежат на графике, поэтому они зеркальны относительно Oy. У нечётной функции вместе с точкой (x; y) есть точка (−x; −y), полученная поворотом вокруг начала координат. При чётном n график находится выше оси Ox или касается её в начале координат; при нечётном n он проходит через начало и располагается по обе стороны от осей.
На положительной полуоси функция возрастает: если x увеличивается, каждый из положительных множителей x увеличивается, и произведение тоже растёт. При x > 1 увеличение показателя усиливает рост: например, x⁴ больше x². При 0 < x < 1 происходит обратное сравнение: дополнительные множители меньше единицы, поэтому значение степени уменьшается; скорость изменения графика зависит и от самого x.
При отрицательном x знак результата определяется чётностью n: чётная степень даёт положительное значение, нечётная — отрицательное. У чётной степени значения по обе стороны от нуля одинаковы, а при приближении к нулю они стремятся к нулю сверху. У нечётной степени значения слева от нуля отрицательны, справа положительны, и с обеих сторон при приближении к нулю стремятся к нулю.
| Свойство | n чётное | n нечётное |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | [0; +∞) | Все действительные числа |
| Чётность функции | Чётная | Нечётная |
| Симметрия графика | Относительно оси Oy | Относительно начала координат |
| Поведение при x < 0 | Значения положительны, функция убывает при движении слева направо | Значения отрицательны, функция возрастает |
| Монотонность | Убывает при x < 0, возрастает при x > 0 | Возрастает на всей числовой прямой |
Сначала найдите, чётный или нечётный показатель, затем прочитайте соответствующий столбец. Так можно быстро определить значения функции, симметрию и поведение при отрицательных x. Строка о монотонности уточняет, на каких промежутках функция возрастает или убывает.
Показатель 6 натуральный, поэтому выражение x⁶ можно вычислить при любом действительном x. Следовательно, область определения — все действительные числа.
Показатель чётный, значит, x⁶ неотрицательно при любом x. Ноль получается при x = 0, а любое положительное число a получается, например, при x = ⁶√a.
Ответ: область определения — все действительные числа; множество значений — [0; +∞).
Обозначим f(x) = x⁵ и подставим вместо аргумента противоположное число. Получим f(−x) = (−x)⁵.
Поскольку показатель 5 нечётный, произведение пяти отрицательных множителей отрицательно: (−x)⁵ = −x⁵. Значит, f(−x) = −f(x), что совпадает с определением нечётной функции.
Ответ: функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат.
При x = −2 получаем (−2)⁴ = 16 и (−2)² = 4. Четвёртая степень больше; отрицательный аргумент не меняет знак этих значений, потому что показатели чётные.
При x = 0 обе функции равны нулю. При x = 2 получаем 2⁴ = 16 и 2² = 4, поэтому график y = x⁴ выше графика y = x² в этой точке.
Обе функции чётные, следовательно, их графики симметричны относительно оси Oy. Равенство x⁴ = x² выполняется при x = −1, 0 и 1; между −1 и 1 значения x⁴ не больше x², а при |x| > 1 — больше.
Ответ: для x = −2 значения равны 16 и 4, для x = 0 — 0 и 0, для x = 2 — 16 и 4. Графики симметричны относительно Oy и пересекаются при x = −1, 0 и 1.
Ошибка — считать, что множество значений любой функции y = xⁿ состоит из всех действительных чисел. Так думают, перенося свойства нечётных степеней на чётные. Проверьте знак: при чётном n отрицательный результат невозможен, поэтому множество значений равно [0; +∞).
Ошибка — определять чётность только по рисунку графика. Рисунок может быть построен неточно, а симметрия проверяется вычислением. Подставьте −x вместо x и сравните f(−x) с f(x) и −f(x): равенство с первым выражением означает чётность, со вторым — нечётность.
Ошибка — путать симметрию относительно оси Oy с симметрией относительно начала координат. Эти преобразования дают разные пары точек: у чётной функции (x; y) соответствует (−x; y), у нечётной — (−x; −y). Проверяйте, меняется ли знак ординаты вместе со знаком абсциссы.
Ошибка — полагать, что отрицательное основание всегда даёт отрицательную степень. Ошибку провоцирует знак самого основания, но при умножении одинаковых отрицательных множителей знак зависит от их количества. Проверьте показатель: чётное число множителей даёт положительный результат, нечётное — отрицательный.
Чтобы работать со степенной функцией, нужно знать свойства степеней с натуральным показателем и правила возведения отрицательных чисел в степень. Именно эти правила объясняют поведение выражения при замене x на −x и позволяют установить знак результата. Чётность функций помогает строить графики, находить симметричные точки и решать уравнения. Свойства y = xⁿ также служат опорой при изучении более общих степенных функций.
Почему функция y = x^n бывает чётной или нечётной?
При замене x на −x получаем (−x)ⁿ. Если n чётное, минусы попарно перемножаются и результат равен xⁿ, поэтому функция чётная. Если n нечётное, один минус остаётся, и функция нечётная.
Как найти множество значений функции y = x^n?
Если n чётное, степень любого числа неотрицательна, а каждое неотрицательное число можно получить: множество значений — [0; +∞). Если n нечётное, любое действительное значение достигается, поэтому множество значений — все действительные числа.
Почему график чётной функции симметричен относительно оси Oy?
У чётной функции значения в точках x и −x одинаковы: f(−x) = f(x). Поэтому точки графика с противоположными абсциссами имеют одинаковую ординату и расположены зеркально относительно оси Oy.
Может ли функция y = x^n принимать отрицательные значения?
При чётном n отрицательных значений нет, потому что отрицательное число, возведённое в чётную степень, даёт положительное число. При нечётном n отрицательные x дают отрицательные значения функции.
Как меняется график функции, если показатель степени увеличить?
При x > 1 большие показатели дают большие значения, поэтому график быстрее поднимается вверх. При 0 < x < 1 значения, наоборот, становятся меньше при увеличении показателя. Для x < 0 учитывайте ещё и чётность показателя: она определяет знак и симметрию графика.
Функция у = х^n
