"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Степенная функция y = xⁿ и корень n-й степени связаны уравнением xⁿ = a. Чётность показателя определяет, какие значения может принимать функция и существует ли корень из данного числа в действительных числах. Эти понятия помогают строить графики, решать уравнения и преобразовывать выражения. Главное — различать арифметический корень и все решения уравнения, а при вычислениях проверять знак подкоренного выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — функция вида y = xᵃ, где a — показатель степени. Её поведение определяется не только показателем, но и тем, при каких x выражение имеет смысл. Поэтому, прежде чем строить график или решать задачу, выясняют область определения функции.
Корень n-й степени из числа a — число, n-я степень которого равна a. Иными словами, если xⁿ = a, то x является корнем n-й степени из a. В действительных числах при чётном n такой корень возможен только для a ≥ 0, а при нечётном n — для любого a.
Арифметический корень n-й степени — неотрицательный корень из неотрицательного числа. При чётном n он единственный среди неотрицательных решений и обозначается √[n]{a}; например, √16 = 4. Это обозначение помогает выбрать одно определённое значение, когда уравнение имеет два корня.
Корень уравнения xⁿ = a — любое значение x, при котором равенство верно. Например, уравнение x² = 16 имеет корни 4 и −4, тогда как арифметический корень √16 равен только 4. Различие нужно учитывать, чтобы не терять решения уравнения и не приписывать арифметическому корню отрицательное значение.
Для функции y = xⁿ при натуральном n допустимы все действительные x: возведение числа в натуральную степень всегда определено. Если n чётно, произведение одинаковых множителей не может быть отрицательным, поэтому y ≥ 0. Если n нечётно, знак результата совпадает со знаком x, и функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Симметрия следует из того, что происходит при замене x на −x. При чётном n получаем (−x)ⁿ = xⁿ, поэтому противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции: график отражается сам в себя относительно оси y. При нечётном n верно (−x)ⁿ = −xⁿ; точки (x, y) и (−x, −y) лежат на графике, а значит, он симметричен относительно начала координат.
Чтобы найти корни уравнения xⁿ = a, нужно спросить, какие числа после возведения в степень дают a. При чётном n отрицательное число получить нельзя, поэтому для a < 0 решений нет; при a = 0 решением будет только x = 0. Если a > 0, подходят два противоположных числа. При нечётном n степень сохраняет знак числа и функция непрерывно возрастает, поэтому для любого a находится ровно одно действительное решение.
Функция y = √[n]{x} обратна функции y = xⁿ на тех промежутках, где степенная функция имеет обратную. Для чётного n берут ветвь y = xⁿ при x ≥ 0, а корень определён при x ≥ 0; для нечётного n обе функции заданы на всей числовой прямой. У обратных функций координаты точек меняются местами, поэтому графики отражаются относительно прямой y = x. По этой причине область определения одной функции становится множеством значений другой.
При умножении и делении корней с одинаковым показателем подкоренные числа можно объединять: √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{ab}, а при b ≠ 0 отношение равно √[n]{a/b}. Для чётного n подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а при делении знаменатель не должен равняться нулю. Выносить множитель из корня можно, если представить подкоренное выражение как степень с показателем, кратным n; при чётном корне знак переменной требует особой проверки.
На графиках видно, как различаются степенные функции с чётным и нечётным показателями.
| Свойство | Чётный показатель n | Нечётный показатель n |
|---|---|---|
| Область определения y = xⁿ | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений y = xⁿ | [0; +∞) | Все действительные числа |
| Симметрия графика y = xⁿ | Относительно оси y | Относительно начала координат |
| Монотонность y = xⁿ | Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0 | Возрастает на всей числовой прямой |
| Условия существования √[n]{a} в действительных числах | a ≥ 0 | Любое действительное a |
| Число действительных корней уравнения xⁿ = a | Два при a > 0, один при a = 0, ни одного при a < 0 | Один при любом a |
Сначала определите, относится ли показатель к чётному или нечётному типу, затем найдите нужную строку. Помните, что условия в строке о корне относятся к действительным числам. Арифметический корень чётной степени выбирает неотрицательное значение, даже если уравнение имеет ещё и отрицательный корень.
Показатель 4 чётный, поэтому при любом действительном x выражение x⁴ определено и неотрицательно. Значение 0 достигается при x = 0, а любое положительное значение можно получить, взяв соответствующий положительный корень четвёртой степени. Для проверки симметрии сравним значения в точках x и −x.
Ответ: D(y) = ℝ, E(y) = [0; +∞); симметрия относительно оси y.
Показатель 6 чётный, а правая часть положительна, поэтому ожидаются два противоположных решения. Ищем число, шестая степень которого равна 64: поскольку 2⁶ = 64, положительное решение равно 2. Число −2 также подходит, так как чётная степень убирает знак.
Ответ: корни уравнения — −2 и 2; арифметический корень √[6]{64} = 2.
У корней разные показатели, поэтому каждый вычисляем отдельно. Кубический корень из отрицательного числа существует в действительных числах, потому что нечётная степень сохраняет знак. Для четвёртого корня подкоренное число должно быть неотрицательным, и 16 этому условию удовлетворяет.
Ответ: 0; оба корня существуют в действительных числах по указанным условиям.
Для работы со степенными функциями нужны свойства степеней с натуральным показателем, понимание чётности и нечётности числа, а также умение находить область определения и читать график. Эти знания объясняют знак степени, симметрию и допустимые значения переменной. Степенные функции и корни применяются при решении уравнений и неравенств, преобразовании выражений и изучении степеней с рациональными показателями.
Почему корень чётной степени из отрицательного числа нельзя найти в действительных числах?
При возведении любого действительного числа в чётную степень результат неотрицателен: отрицательное число умножается на себя чётное число раз. Поэтому равенство xⁿ = a при чётном n и a < 0 невозможно.
Чем арифметический корень отличается от корней уравнения xⁿ = a?
Арифметический корень чётной степени — только неотрицательное число, обозначаемое √[n]{a}. Уравнение xⁿ = a при чётном n и a > 0 имеет два решения: положительное и противоположное ему.
Почему график функции y = x⁴ симметричен относительно оси y?
Замена x на −x не меняет значение функции: (−x)⁴ = x⁴. Поэтому точкам графика с абсциссами x и −x соответствуют одинаковые ординаты, и они зеркально расположены относительно оси y.
Когда при извлечении корня нужно записывать модуль?
Модуль появляется, когда извлекают корень чётной степени из выражения, которое само является чётной степенью переменной: например, √(x²) = |x|. Это нужно потому, что арифметический корень неотрицателен, даже если x отрицательно.
Можно ли складывать корни, складывая подкоренные числа?
В общем случае нельзя: √a + √b обычно не равно √(a + b). Например, √1 + √1 = 2, а √(1 + 1) = √2. Складывать можно только после корректного упрощения, если слагаемые оказались подобными.
§4. Степенная функция. Корень п-ой степени
