"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Уравнение с одной переменной — это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой. С его помощью находят значения, при которых левая и правая части равны. Такое значение называют корнем. Чтобы решить уравнение, нужно найти все корни или доказать, что их нет. При преобразованиях важно сохранять множество корней, а найденный ответ полезно проверять подстановкой в исходное равенство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одной переменной — равенство, содержащее переменную, например x + 7 = 12. Переменная — буква, вместо которой можно подставлять числа. В числовом равенстве букв нет: например, 3 + 4 = 7 уже не зависит от неизвестного значения. Различать эти записи нужно, чтобы понимать, требуется ли проверить равенство или найти подходящее значение буквы.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, для x + 7 = 12 числу 5 соответствует равенство 5 + 7 = 12. Проверка подстановкой показывает, действительно ли значение подходит: вычисляют обе части и сравнивают их. Так можно обнаружить ошибку, даже если решение казалось убедительным.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Нельзя остановиться на первом подходящем числе, если уравнение может иметь и другие корни. Иногда после преобразований получается равенство, верное для любого значения переменной, а иногда — неверное равенство без корней. Поэтому ответ должен описывать все возможности.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, x + 7 = 12 и x = 5 равносильны: каждое имеет единственный корень 5. Сохранять равносильность при преобразованиях важно, чтобы не потерять подходящий ответ и не добавить лишний. Иначе решение полученного уравнения может не совпасть с решением исходного.
Подстановка помогает проверить, является ли число корнем, потому что корень по определению должен сделать равенство верным. Вместо переменной подставляют выбранное значение и выполняют вычисления отдельно в левой и правой частях. Если результаты одинаковы, число подходит; если нет — не подходит. Например, при x = 5 в уравнении x + 7 = 12 обе части равны 12.
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, равенство сохранится: равные числа после такого действия останутся равными. Обратное тоже верно — из полученного равенства можно вычесть это число и вернуться к исходному. Значит, ни один корень не теряется и новый не появляется. Вычитание числа можно понимать как прибавление числа с противоположным знаком.
Перенося слагаемое через знак равенства, мы на самом деле прибавляем к обеим частям противоположное число. Например, из x + 4 = 9 можно получить x = 9 − 4: к обеим частям прибавили −4. Поэтому перенесённое слагаемое меняет знак. Это удобная краткая запись равносильного преобразования, а не отдельное правило без причины.
Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет равенство, потому что умножение на него можно отменить делением. Так же работает деление на ненулевое число: обратное действие — умножение. Делить на выражение с переменной без проверки опасно, потому что оно может оказаться нулём, а деление на ноль невозможно. Например, при делении на x нужно отдельно учесть случай x = 0.
Чтобы решить уравнение, последовательно упрощают его, сохраняя равносильность на каждом шаге. Сначала раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, затем собирают переменные слагаемые в одной части, а числа — в другой. После этого делением на коэффициент находят значение переменной, если коэффициент не равен нулю. В конце подставляют результат в исходное уравнение: такая проверка подтверждает вычисления.
| Преобразование | Что делают с обеими частями | Условие |
|---|---|---|
| Прибавление или вычитание числа | Прибавляют одно и то же число или вычитают его | Число должно быть одинаковым для обеих частей |
| Умножение или деление на число | Умножают или делят обе части на одно и то же число | При делении число не должно быть равно нулю |
| Перенос слагаемого в другую часть | Прибавляют к обеим частям противоположное слагаемое | Знак переносимого слагаемого меняется |
| Проверка полученного корня | Подставляют число и вычисляют обе части | Значение должно удовлетворять исходному уравнению |
Сверяйтесь с таблицей, когда выбираете следующий шаг решения: сначала проверьте, допустимо ли преобразование. Особенно внимательно следите за делением — делитель должен быть ненулевым. После вычислений проверка корня проводится в исходном, а не только в преобразованном уравнении.
Задача 1. Решите уравнение x + 7 = 12. Нужно оставить переменную одну, поэтому убираем слагаемое +7. Для этого вычитаем 7 из обеих частей, сохраняя равенство.
Ответ: 5.
Задача 2. Решите уравнение 3(x − 2) = 2x + 5. Сначала раскрываем скобки, чтобы увидеть слагаемые с переменной. Затем перемещаем их в одну часть, а числа — в другую, каждый раз выполняя равносильное преобразование.
Ответ: 11.
Задача 3. Решите уравнение 2(x + 1) = 2x + 2. После раскрытия скобок может оказаться, что переменная исчезает. В таком случае нужно выяснить, получилось верное числовое равенство или противоречие.
Ответ: любое число.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если запомнить короткое правило, но забыть, что перенос означает прибавление противоположного числа к обеим частям. Например, при переносе +6 в другую часть оно становится −6. Проверьте себя, выполнив действие с обеими частями: результат должен совпасть с записью после переноса.
Деление обеих частей на выражение с переменной может привести к потере корня. Ошибка возникает, когда считают такой делитель заведомо ненулевым, хотя он может обратиться в ноль. Перед делением проверьте, какие значения делают выражение нулём, и рассмотрите их отдельно. Если этого нельзя сделать или делитель равен нулю, такое деление недопустимо.
Найденное значение иногда сразу записывают как корень, не подставляя его в исходное уравнение. Тогда незамеченными остаются ошибки в знаках, раскрытии скобок или вычислениях. Подстановка числа в исходную запись — простой способ проверить обе части независимо. Если результаты различаются, нужно пересмотреть решение.
Можно записать только один корень или считать, что уравнение обязательно имеет корень. Это неверно: корней может быть несколько, бесконечно много или ни одного. Ошибка появляется, если не разобрать равенство, которое осталось после упрощения. Сравните полученные части: верное числовое равенство означает любые значения переменной, а неверное — отсутствие корней.
Для решения уравнений нужны действия с рациональными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти навыки помогают упрощать запись и не терять знаки при преобразованиях. Уравнения позволяют решать текстовые задачи: например, находить время в пути, стоимость покупок или объём совместной работы. Позже те же приёмы понадобятся при изучении линейных уравнений, систем уравнений и более сложных уравнений.
Чем корень уравнения отличается от решения уравнения?
Корень — это одно значение переменной, которое превращает уравнение в верное равенство. Решить уравнение — значит найти все такие значения или установить, что их нет.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям прибавляют число, противоположное переносимому слагаемому. Например, чтобы убрать +5 слева, к обеим частям прибавляют −5, поэтому справа появляется −5.
Можно ли делить обе части уравнения на переменную?
Только если сначала проверить, что переменная не равна нулю. Если она может быть нулём, деление способно исключить корень, поэтому сначала отдельно рассматривают случай, когда делитель равен нулю.
Как проверить, что найденное число действительно является корнем?
Подставьте это число вместо переменной в исходное уравнение. Вычислите левую и правую части отдельно: если получились одинаковые числа, значение является корнем.
Что записывать в ответе, если уравнение верно при любом значении переменной?
Запишите, что корнем является любое число, или укажите множество всех чисел. Например, после преобразования 2(x + 1) = 2x + 2 получается равенство 2 = 2, верное при любом x.
§ 3. Уравнения с одной переменной
