"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Преобразование выражений помогает записать одну и ту же величину в более простой или удобной форме. Для этого раскрывают скобки и объединяют подобные слагаемые, опираясь на свойства сложения и умножения. Главное правило: после преобразования значение выражения не меняется при допустимых значениях переменных. Эти приёмы нужны, чтобы упрощать вычисления, решать уравнения и работать с формулами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Например, равенство 2(x + 1) = 2x + 2 верно при любом x. Слово «допустимых» напоминает, что значение переменной иногда ограничено условием выражения. Понятие тождества помогает понять, когда две записи действительно выражают одно и то же.
Тождественные преобразования выражений — замена выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. Например, запись 3(x + 2) можно заменить на 3x + 6. Так выражение часто становится удобнее для вычислений или дальнейшего решения задачи. При этом исходное значение не должно измениться.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью; их можно объединять, складывая коэффициенты. Например, 5a и −2a подобны, а 5a и 5b — нет. Объединение сокращает запись и позволяет быстрее увидеть итоговое выражение. Буквенная часть у результата остаётся той же.
Коэффициент — числовой множитель одночлена. Если число явно не записано, у x коэффициент равен 1, а у −x — −1. Поэтому 4x + x можно понимать как 4x + 1x. Коэффициенты нужны, чтобы правильно складывать или вычитать подобные слагаемые.
Тождественные преобразования сохраняют значение выражения, потому что основаны на свойствах арифметических действий. Например, распределительное свойство утверждает: a(b + c) = ab + ac. Следовательно, обе записи дают одинаковый результат при одном и том же допустимом значении переменных. Именно поэтому преобразование можно применять, не меняя величину, которую выражение обозначает.
Подобные слагаемые объединяют, вынося общую буквенную часть за скобки. Так, 4x + 3x = (4 + 3)x = 7x: переменная x повторяется, поэтому складываются только числа перед ней. Коэффициенты показывают, сколько одинаковых частей содержится в каждом слагаемом. Если буквенные части различаются, вынести одну общую часть таким способом нельзя.
Если перед скобками стоит плюс, слагаемые внутри сохраняют свои знаки: +(a − b) = a − b. Это происходит потому, что умножение на 1 не изменяет ни одно слагаемое. Знак плюс перед скобками можно убрать, не меняя содержимое. Поэтому после раскрытия скобок внимательно перенеси каждый знак вместе со своим слагаемым.
Минус перед скобками означает умножение всего выражения в скобках на −1. По распределительному свойству −(a − b) = (−1) · a + (−1) · (−b) = −a + b. Поэтому противоположный знак получает каждое слагаемое, а не только первое. Такой способ объясняет правило и помогает не пропустить знак в длинной скобке.
Когда выражение содержит несколько скобок, сначала раскрывают каждую из них, а затем приводят подобные слагаемые. Такой порядок помогает не смешивать две разные операции: сначала убрать группировку, потом собрать одинаковые буквенные части. После раскрытия скобок стоит проверить, что множитель распределён на все слагаемые. В конце можно упорядочить слагаемые и записать результат короче.
| Приём | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Раскрытие скобок со знаком «плюс» | Знаки слагаемых сохраняются. | +(a − b) = a − b |
| Раскрытие скобок со знаком «минус» | Знаки всех слагаемых меняются на противоположные. | −(a − b) = −a + b |
| Раскрытие скобок по распределительному свойству | Множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. | 3(a − b) = 3a − 3b |
| Приведение подобных слагаемых | Складывают коэффициенты, буквенную часть оставляют. | 4x − x = 3x |
Сначала найди в таблице приём, который соответствует виду записи: знак перед скобками или множитель рядом с ними. Затем примени правило ко всем слагаемым, не теряя их знаков. После раскрытия скобок проверь, есть ли подобные слагаемые для объединения.
Упростите выражение 7a − 3a + 2a. Здесь все три слагаемых содержат одну и ту же буквенную часть a, значит, они подобные. Удобно записать коэффициенты в исходном порядке и выполнить действия с ними. Букву a после этого приписывают к полученному числу.
Ответ: 6a.
Раскройте скобки и упростите выражение 5x − (2x − 4). Перед скобками стоит минус, поэтому он относится к обоим слагаемым внутри. Можно рассматривать это как умножение скобки на −1. После раскрытия скобок остаётся объединить слагаемые с x.
Ответ: 3x + 4.
Упростите выражение 3(2x − 1) − 2(x + 4) + 5. Здесь есть два множителя перед скобками, причём перед второй скобкой стоит минус. Умножаем каждый множитель на каждое слагаемое своей скобки и учитываем знаки. Только после этого объединяем числовые слагаемые и слагаемые с x.
Ответ: 4x − 6.
При раскрытии скобок после минуса иногда меняют знак только у первого слагаемого. Это происходит, когда минус воспринимают как знак перед всей записью, но забывают его действие на остальные части. Нужно помнить, что скобка умножается на −1 целиком. Для проверки раскрой скобки по одному слагаемому: каждое должно получить противоположный знак.
Иногда складывают коэффициенты слагаемых, у которых разные буквенные части, например 3x и 2y. Числа 3 и 2 похожи на подходящие коэффициенты, поэтому легко не заметить различие букв. Но общей буквенной части здесь нет, значит, объединить слагаемые нельзя. Проверь, совпадают ли буквы и их степени, прежде чем складывать коэффициенты.
При умножении одночлена на скобку можно умножить только первое слагаемое, пропустив остальные. Обычно это случается, если скобку воспринимают как одну длинную запись, а не как сумму или разность. По распределительному свойству множитель действует на каждое слагаемое. Для самопроверки обведи каждое слагаемое в скобках и убедись, что у каждого есть результат умножения.
Слагаемые x и x² могут показаться подобными, потому что в них есть одна и та же буква. Однако степени различаются, поэтому буквенные части неодинаковы и складывать коэффициенты нельзя. Например, x + x² остаётся без объединения. Проверяй не только букву, но и показатель степени у каждой переменной.
Перед преобразованием выражений пригодятся порядок действий и свойства сложения и умножения. Правила действий с отрицательными числами особенно нужны, когда перед скобками стоит минус. Если эти основы знакомы, легче понять, откуда берутся знаки и почему распределяется множитель.
Преобразования помогают упростить обе части уравнения и привести их к удобному виду. Они также позволяют переписать формулу так, чтобы нужное вычисление стало проще. При любом таком шаге следует сохранять равенство выражений.
Умение приводить подобные слагаемые понадобится при изучении многочленов. Оно также помогает при разложении выражений на множители: общую часть можно заметить и вынести за скобки. Поэтому аккуратное преобразование выражений служит основой для следующих алгебраических тем.
Что такое тождество?
Тождество — равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Например, 2(x + 3) = 2x + 6 верно при любом значении x.
Какие слагаемые называют подобными?
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть, включая одинаковые переменные в одинаковых степенях. Например, 4x и −x подобны, а x и x² — нет.
Почему при раскрытии скобок после минуса меняются все знаки?
Минус перед скобками означает умножение всего выражения в скобках на −1. Поэтому каждое слагаемое получает противоположный знак.
Можно ли складывать слагаемые x и x²?
Нет, их нельзя объединить как подобные слагаемые: буквенные части различаются степенью переменной. Выражение x + x² можно оставить записанным именно так.
В каком порядке упрощать выражение с несколькими скобками?
Сначала раскрой скобки, аккуратно учитывая знаки перед ними и применяя распределительное свойство. Затем приведи подобные слагаемые и запиши результат.
§ 2. Преобразование выражений
