"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Преобразовать выражение — значит заменить его другой записью, которая имеет то же значение при любых допустимых значениях переменных. Для этого раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Распределительное свойство объясняет, почему множитель нужно умножать на каждый член в скобках, а знак минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри. Умение упрощать выражения помогает быстрее считать, решать уравнения и работать с формулами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 4x и −7x подобны, потому что в обоих случаях буквенная часть — x; 4x и 4y или x и x² подобными не являются. Чтобы распознать подобные слагаемые, сравнивают буквы и их показатели степеней, не обращая внимания на числовые множители.
Коэффициент — числовой множитель одночлена. В записи 6a коэффициент равен 6, а в −3xy — −3; если число не записано, у x коэффициент 1, а у −x — −1. Коэффициент показывает, сколько раз взята буквенная часть, и именно с ним выполняют действия при упрощении.
Приведение подобных слагаемых — замена суммы или разности подобных слагаемых одним слагаемым с той же буквенной частью. Например, 5m − 2m = 3m: изменились коэффициенты, а буква m сохранилась. Этот приём помогает сделать выражение короче и удобнее для вычислений.
Тождественные преобразования выражений — преобразования, при которых выражение заменяют тождественно равным ему, то есть имеющим то же значение при всех допустимых значениях переменных. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых — такие преобразования. Они нужны, чтобы получить более простую запись, не меняя исходного значения.
Распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так: k(a + b) = ka + kb. Оно объясняется тем, что сумма a + b берётся k раз, поэтому в результате k раз берётся и a, и b. Например, 4(2x + 3) означает четыре одинаковые суммы 2x + 3, то есть 4 · 2x + 4 · 3.
При умножении на разность действует похожее правило: k(a − b) = ka − kb. Вычитание можно рассматривать как сложение с противоположным числом, поэтому множитель распределяется на оба члена, а знак минус между ними сохраняется. Если перед скобками стоит минус, это то же самое, что умножить каждое слагаемое внутри на −1: −(a − b) = −a + b.
Чтобы сложить подобные слагаемые, складывают их коэффициенты, а общую буквенную часть оставляют без изменения: 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x. При вычитании коэффициенты вычитают, учитывая их знаки: 7a − 4a = (7 − 4)a = 3a. Такое правило работает именно потому, что одинаковая буквенная часть является общим множителем.
Обычно выражение упрощают по порядку: сначала раскрывают скобки, затем приводят подобные слагаемые и записывают результат. Например, в 2(x + 3) + x сначала получают 2x + 6 + x, а потом объединяют 2x и x. Последовательность помогает не пропустить знаки и увидеть, какие слагаемые действительно можно объединить.
Каждый шаг сохраняет значение выражения: распределительное свойство и сложение подобных слагаемых — равенства, верные при допустимых значениях переменных. Поэтому исходную запись можно заменить полученной и при подстановке одного и того же числа результаты совпадут. Например, при x = 2 выражения 2(x + 3) и 2x + 6 оба равны 10; подстановка помогает проверить вычисления, хотя сама по себе не доказывает равенство для всех значений.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Умножение числа на сумму | Множитель умножают на каждое слагаемое | 3(a + 2) = 3a + 6 |
| Умножение числа на разность | Множитель умножают на оба члена; знак разности сохраняют | 4(x − 5) = 4x − 20 |
| Раскрытие скобок перед которыми стоит минус | Знаки всех слагаемых в скобках меняют на противоположные | −(a + 3) = −a − 3 |
| Сложение подобных слагаемых | Коэффициенты складывают, буквенную часть сохраняют | 2x + 7x = 9x |
| Вычитание подобных слагаемых | Коэффициенты вычитают, буквенную часть сохраняют | 8y − 3y = 5y |
Сначала определите, какое действие нужно выполнить: распределить множитель или объединить слагаемые. В примерах со скобками отдельно следите за знаками каждого члена. После раскрытия скобок проверьте, совпадают ли буквенные части слагаемых, прежде чем складывать их.
В скобках стоят два слагаемых: 2x и 3, а перед скобками — множитель 4. По распределительному свойству нужно умножить его на каждый член, потому что множитель относится ко всей сумме.
Выполним умножение: 4 · 2x = 8x и 4 · 3 = 12. Между полученными членами оставляем знак плюс, который был между слагаемыми в скобках.
Ответ: 8x + 12.
Сначала раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит минус, поэтому оба знака внутри меняются: −(2a − 7) = −2a + 7; перед вторыми скобками стоит множитель 3, который нужно умножить на оба слагаемых.
Получаем 5a − 2a + 7 + 3a + 3. Теперь сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с a отдельно, числа отдельно; такую перестановку и группировку разрешают свойства сложения.
Сложим коэффициенты при a: 5 − 2 + 3 = 6, а числа: 7 + 3 = 10. Поэтому выражение сокращается до 6a + 10.
Ответ: 6a + 10.
Раскроем первые скобки: 2 · 3x − 2 · 4 = 6x − 8. Во вторых скобках умножитель равен −3, поэтому он умножается и на x, и на 2: −3(x + 2) = −3x − 6.
Запишем выражение без скобок: 6x − 8 − 3x − 6 + 5x. Коэффициенты при x складываем отдельно от чисел: 6 − 3 + 5 = 8, а −8 − 6 = −14.
Получаем 8x − 14. Для проверки подставим x = 1 в исходное выражение: 2(3 − 4) − 3(1 + 2) + 5 = −2 − 9 + 5 = −6.
Подставим то же значение в результат: 8 · 1 − 14 = −6. Значения совпали, значит, проверка для x = 1 пройдена.
Ответ: 8x − 14; при x = 1 оба выражения равны −6.
Умножают внешний множитель только на первый член скобок, например записывают 3(x + 2) = 3x + 2. Так происходит, когда скобки воспринимают как украшение, а не как сумму, на которую действует множитель. Проверьте себя: распределите множитель по каждому члену и убедитесь, что каждый из них умножен на 3.
При раскрытии скобок с минусом меняют знак только у первого слагаемого. Причина — внимание сосредоточено на начале выражения, хотя минус означает умножение всей скобки на −1. Для самопроверки мысленно поставьте −1 перед каждым членом и поменяйте знак у каждого из них.
Складывают коэффициенты у неподобных слагаемых, например получают 3x + 2x² = 5x³. Ошибка возникает из-за того, что одинаковой кажется буква, хотя показатели степеней различны. Сравните всю буквенную часть: если буквы или показатели не совпадают, слагаемые нельзя объединять.
Складывают буквенные части вместо коэффициентов или теряют общий множитель: например, из 2a + 5a получают 7 вместо 7a. Это часто случается, когда при упрощении не разделяют числовую и буквенную части. Проверьте результат, записав действие с коэффициентами в скобках: (2 + 5)a = 7a.
Для преобразования выражений нужны распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, а также правила действий с положительными и отрицательными числами. Если уверенно умножать и учитывать знаки, раскрытие скобок становится понятным применением уже знакомых правил. Особенно полезно следить за тем, что минус можно представить как умножение на −1.
Упрощённые выражения удобнее использовать при решении уравнений: слагаемые с переменной можно собрать, а затем найти неизвестное. Преобразования также помогают сокращать формулы и быстрее вычислять их значения. При подстановке чисел в короткую запись обычно требуется меньше действий, поэтому проще заметить ошибку.
Почему при раскрытии скобок нужно умножать на каждое слагаемое?
Это следует из распределительного свойства: a(b + c) = ab + ac. Число или выражение перед скобками умножается на каждый член внутри, иначе получится другое значение.
Что происходит со знаками, если перед скобками стоит минус?
Минус перед скобками означает умножение всех слагаемых в них на −1. Поэтому каждое слагаемое меняет знак: например, −(a − b) = −a + b.
Как понять, являются ли два слагаемых подобными?
Сравните их буквенные части: буквы и их показатели степеней должны совпадать. Числовые коэффициенты могут быть разными, но x и x² подобными не являются.
Можно ли складывать слагаемые с разными степенями одной буквы?
Нет, такие слагаемые не являются подобными, поэтому объединить их в одно нельзя. Например, 3x + 2x² остаётся суммой двух слагаемых.
Как проверить, что выражение преобразовано верно?
Подставьте в исходное и преобразованное выражения одно и то же значение переменной и сравните результаты. Совпадение служит проверкой для выбранного значения, хотя для полного доказательства нужно обосновать каждый шаг правилом.
§ 2. Преобразование выражений
