3. Сравнение значений выражений

Определения и обозначения

Сравнение значений выражений — установление того, какое из двух выражений имеет большее значение или равные значения при заданных условиях. Сравнивать можно числа, выражения с переменными и выражения, значение которых заранее неизвестно. Это нужно, чтобы выбрать большее или меньшее значение, не обязательно вычисляя каждое выражение отдельно.

Числовое неравенство — запись, показывающая, что одно число больше или меньше другого. Знак > читают «больше»: например, 7 > 4. Знак < читают «меньше»: 2 < 5; такие записи помогают точно указать порядок чисел.

Разность выражений — результат вычитания одного выражения из другого. Например, разность выражений A и B записывают A − B. Её знак подсказывает, какое выражение больше, поэтому разность часто находят вместо вычисления двух значений по отдельности.

Оценка выражения — указание границ, между которыми находится его значение. Например, запись 3 < A < 8 означает, что A больше 3 и меньше 8. Оценка нужна, когда точное значение выражения находить не требуется или невозможно, но можно установить его границы.

Как это устроено

Чтобы сравнить A и B, рассматривают разность A − B. Если A больше B, то при вычитании B из A остаётся положительное число; если A меньше B, разность отрицательна. При равных значениях вычитание даёт ноль, поэтому знак разности полностью определяет результат сравнения.

Разность не всегда сразу имеет понятный знак, поэтому её преобразуют. Можно раскрыть скобки, собрать слагаемые одного вида или разложить выражение на множители. Например, после упрощения может получиться 2x − 3, и тогда знак зависит от того, какие значения принимает x; преобразование помогает увидеть эту зависимость.

Если в обеих частях верного неравенства вычесть одно и то же число, порядок не изменится: оба значения сдвинутся на одинаковую величину. То же верно для вычитания одного и того же выражения при каждом допустимом значении переменных. Поэтому одинаковые слагаемые можно убрать и сравнить оставшиеся части.

Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет порядок: большие числа остаются большими. Отрицательное число меняет направление на числовой прямой, поэтому порядок становится обратным. Например, из 3 < 5 следует −3 > −5 при умножении на −1; забывать поменять знак нельзя.

Иногда сравнение проще выполнить, опираясь на известные свойства чисел и условия задачи. Если известно, что переменная положительна, произведение её на положительное число тоже положительно; это может сразу определить знак разности. Условие нельзя игнорировать: без него знак выражения с переменной может быть неясен или меняться.

Приёмы сравнения значений выражений

Сначала выбери приём, который сокращает вычисления: например, проверь, есть ли одинаковые слагаемые. Если сравнение всё ещё не очевидно, найди разность и установи её знак. При умножении или делении следи, положительно ли число, на которое выполняется действие.

Разбор задач

Сравните 5,7 + 2,4 и 8,2. Здесь можно вычислить значения обеих частей, а затем проверить, какая из них больше. Для этого примера вычисление короткое, но тот же результат можно получить, исследовав разность.

1. Сложим числа в первом выражении: 5,7 + 2,4 = 8,1.
2. Сравним 8,1 и 8,2: число 8,1 меньше, потому что у них совпадает целая часть, а 1 десятая меньше 2 десятых.
3. Запишем результат с исходными выражениями: 5,7 + 2,4 < 8,2.

Ответ: 5,7 + 2,4 < 8,2.

Сравните 3x + 7 и 3x + 2 при любом значении x. Вычислять значения с переменной нельзя, пока x неизвестен. Но в обоих выражениях есть одинаковое слагаемое 3x, поэтому его можно вычесть из обеих частей сравнения и проверить оставшиеся числа.

1. Составим разность первого выражения и второго: (3x + 7) − (3x + 2).
2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 3x + 7 − 3x − 2 = 5.
3. Разность положительна при любом x, значит, первое выражение всегда больше второго.

Ответ: 3x + 7 > 3x + 2 при любом значении x.

Сравните x² + 4x + 5 и x² + 2x + 8, если x > 2. Одинаковые члены с x² сокращаются, а оставшаяся разность зависит от x. Условие x > 2 нужно использовать, чтобы установить её знак, а не подставлять случайное число вместо переменной.

1. Вычтем второе выражение из первого: (x² + 4x + 5) − (x² + 2x + 8).
2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: x² + 4x + 5 − x² − 2x − 8 = 2x − 3.
3. Из x > 2 следует 2x > 4, поэтому 2x − 3 > 1. Разность положительна, значит, первое выражение больше.

Ответ: x² + 4x + 5 > x² + 2x + 8 при x > 2.

Типичные ошибки

Можно решить, что выражение с большим числом слагаемых обязательно больше. Это неверно: слагаемые могут быть отрицательными или иметь разные значения. Сравнивай сами значения либо знак разности, а не количество частей в записи.

При умножении или делении неравенства на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Такая ошибка возникает, если запомнить правило только для положительных чисел. Проверь результат на простом примере 3 < 5: после умножения на −1 должно получиться −3 > −5.

Ещё одна ошибка — определить знак разности, не учтя условие на переменную. Например, знак 2x − 3 нельзя установить одинаково для всех x: при разных значениях он может быть положительным или отрицательным. Подставь в рассуждение данное условие и проверь, действительно ли оно гарантирует нужный знак.

Не сравнивай выражения по отдельным частям, если не доказано, что это сохраняет порядок целого выражения. Больший отдельный член не всегда делает больше всю сумму: остальные слагаемые могут изменить результат. Безопасная проверка — найти разность выражений и преобразовать её так, чтобы знак стал понятен.

Связь с другими темами

Для сравнения выражений пригодятся действия с рациональными числами: нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить их, сохраняя правильные знаки. Также важно раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы упростить разность. Эти умения помогают установить знак выражения, содержащего переменную.

Сравнение значений выражений используется при решении неравенств: преобразования позволяют выяснить, при каких значениях переменной выполняется нужное условие. Оно нужно и в задачах, где требуется выбрать большее или меньшее значение, даже если выражения выглядят по-разному. Поэтому работа с разностью становится способом обосновать ответ.

Что запомнить

• Чтобы сравнить A и B, можно определить знак разности A − B.
• Если A − B > 0, то A > B.
• Если A − B < 0, то A < B.
• Если A − B = 0, то значения выражений равны.
• Прибавление или вычитание одного и того же числа не меняет знак неравенства.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.