3. Сравнение значений выражений

Определения и обозначения

Числовое неравенство — запись, в которой два числа или выражения соединены знаком <, >, ≤ или ≥. Знаки < и > задают строгие неравенства: равенство не допускается. Знаки ≤ и ≥ допускают, что сравниваемые значения равны, поэтому помогают записывать сравнение с учётом обоих вариантов.

Верное неравенство — неравенство, которое сохраняет правильный смысл после вычисления или сравнения его частей. Например, запись 3 < 5 верна, потому что три действительно меньше пяти. Проверка верности нужна, чтобы отличать доказанное сравнение от просто записанного знака.

Сравнение значений выражений — установление того, какое из двух значений больше, меньше или равно другому. Выражения могут состоять не только из чисел, но и из букв, если известны условия на переменные. Сравнение помогает выбрать правильный знак и обосновать, почему он подходит.

Разность выражений — результат вычитания одного выражения из другого. Если из первого выражения вычесть второе, знак полученной разности покажет, больше ли первое значение второго. Этот способ полезен, когда выражения сложно сравнить по отдельным частям.

Как это устроено

Чтобы сравнить выражения A и B, рассмотрим разность A − B. Если она положительна, то к B нужно прибавить положительное число, чтобы получить A, значит, A больше B; если отрицательна — A меньше B. При нулевой разности значения совпадают, поэтому A = B. Такой подход сводит сравнение к исследованию знака одного выражения.

Прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет направление неравенства. Например, если a > b, то a + c > b + c: разность новых частей равна (a + c) − (b + c) = a − b. Она осталась прежней, а значит, сохранился и её положительный знак. Вычитание одного и того же числа — это прибавление противоположного числа, поэтому оно тоже сохраняет направление.

Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет направление. При умножении на положительное число разность частей увеличивается во столько же раз, но остаётся положительной или отрицательной, какой была. При делении происходит обратное изменение величины, но знак разности также не меняется. Поэтому порядок чисел остаётся прежним.

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число направление нужно поменять на противоположное. Действительно, разность частей умножается или делится на отрицательное число, а при этом меняет знак. Например, из 2 < 5 после умножения на −1 получается −2 > −5. Если оставить знак <, получилась бы неверная запись.

Для сравнения выражений с переменными разность преобразуют так, чтобы её знак можно было определить. В ход идут известные свойства чисел и условия задачи: например, квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому (x − 2)² ≥ 0. Если знак разности зависит от переменной, нельзя делать вывод без учёта её возможных значений. Условия на переменные подсказывают, какие свойства можно применить.

Основные правила сравнения чисел и выражений

Перед действием проверь, одинаковое ли число применяется к обеим частям и известен ли его знак. Затем выбери результат в таблице и измени запись. Если знак множителя или делителя не известен, нельзя заранее решить, сохранится направление или поменяется.

Разбор задач

Сравнить 3,7 и 3,65

Десятичные дроби проще сравнивать, когда в них одинаковое количество знаков после запятой. Для этого можно дописать ноль справа от числа 3,7: значение дроби от этого не изменится. Теперь сравнение сводится к сравнению сотых долей.

1. Запишем числа с одинаковым количеством цифр после запятой: 3,7 = 3,70.
2. Сравним 3,70 и 3,65: целые части равны, а 70 сотых больше 65 сотых.
3. Значит, 3,70 > 3,65, а следовательно, 3,7 > 3,65.

Ответ: 3,7 > 3,65.

При условии a > b сравнить 5a − 2 и 5b − 2

Обе части исходного неравенства можно умножить на положительное число 5, не меняя направления знака. Затем к обеим частям нужно прибавить −2, то есть вычесть 2. Каждое действие выполняется с обеими частями, чтобы сохранить сравнение.

1. Из условия a > b умножаем обе части на 5. Так как 5 > 0, получаем 5a > 5b.
2. Вычитаем 2 из обеих частей. Направление сохраняется, поэтому 5a − 2 > 5b − 2.
3. Полученное неравенство прямо сравнивает выражения из условия.

Ответ: 5a − 2 > 5b − 2.

Сравнить x² + 4 и 4x, если x — любое действительное число

Значение x может быть любым, поэтому нельзя подставить одно число и считать, что результат верен всегда. Найдём разность выражений в том порядке, который указан для сравнения: из x² + 4 вычтем 4x. Если разность окажется неотрицательной при любом x, первое выражение будет не меньше второго.

1. Запишем разность: x² + 4 − 4x.
2. Сгруппируем слагаемые и дополним до квадрата: x² − 4x + 4 = (x − 2)².
3. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, значит, (x − 2)² ≥ 0. Следовательно, разность неотрицательна при любом x.
4. Если разность положительна, первое выражение больше; если равна нулю, значения равны. Поэтому в общем случае верно нестрогое сравнение.

Ответ: x² + 4 ≥ 4x при любом действительном x.

Типичные ошибки

При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежнее направление знака. Так делают, перенося правило для положительного числа на все случаи, но отрицательное число меняет знак разности. Для проверки умножь простое неравенство 2 < 5 на −1 и убедись, что верно −2 > −5.

При прибавлении одного и того же числа к обеим частям иногда ошибочно переворачивают знак. Возможно, это правило путают с умножением на отрицательное число, хотя сложение не меняет разность частей. Подставь числа: из 2 < 5 после прибавления 3 получается 5 < 8, знак сохранился.

Нельзя считать, что из a > b всегда следует a² > b². Ошибка возникает, когда правило о положительных числах применяют, не проверив знаки сравниваемых чисел: −3 > −4, но 9 < 16. Перед возведением в квадрат выясни, какие числа сравниваются и какие условия заданы.

Сравнение по отдельным слагаемым может привести к неверному выводу, если не учесть знаки слагаемых или условия на переменные. Такой способ кажется удобным, но отдельные части выражений не всегда показывают порядок целых значений. Надёжная проверка — вычесть одно выражение из другого, преобразовать разность и установить её знак.

Связь с другими темами

Для сравнения выражений нужны навыки, изученные раньше: сравнение чисел, действия с рациональными числами и преобразование буквенных выражений. Например, чтобы найти знак разности, приходится раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые или выделять квадрат. Эти умения помогают не только получить результат, но и объяснить, почему выбранный знак верен.

Правила пригодятся при решении линейных неравенств и оценке выражений с переменными. В неравенствах преобразования помогают выделить неизвестную, а при оценке — понять, в каких границах может находиться значение. Условия на переменные при этом определяют, какие действия допустимы.

Что запомнить

• Знак разности двух выражений показывает, какое из них больше.
• Прибавление или вычитание одного и того же числа не меняет направления неравенства.
• При умножении или делении на положительное число направление сохраняется.
• При умножении или делении на отрицательное число направление меняется на противоположное.
• Перед сравнением квадратов проверь, известны ли знаки сравниваемых чисел.
• Условия на переменные важны при сравнении выражений.