"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Преобразование выражения — это замена его более удобной записью, которая сохраняет то же значение при допустимых значениях переменных. Такие преобразования помогают упростить вычисления, подготовить выражение к решению уравнения или доказательству тождества. Для работы со скобками используют свойства сложения и умножения: после плюса знаки сохраняются, после минуса меняются, а множитель распределяется на каждое слагаемое. Затем объединяют подобные слагаемые, складывая только их коэффициенты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование выражения — замена выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. Иначе говоря, запись становится другой, но результат вычисления остаётся прежним. Это нужно, чтобы сделать выражение короче и удобнее для вычислений или дальнейшего решения задач.
Раскрытие скобок — запись выражения без скобок с учётом знака перед ними и распределительного свойства умножения. Скобки показывают, какие слагаемые связаны между собой, поэтому при их удалении важно не потерять знаки и множители. Это правило помогает перейти к записи, в которой проще находить одинаковые буквенные части.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью; их числовые коэффициенты могут различаться. Например, 4x и −2x подобны, а 4x и 4y — нет. Понятие нужно, чтобы определить, какие части выражения можно объединить, а какие должны остаться раздельно.
Приведение подобных слагаемых — замена суммы подобных слагаемых одним слагаемым с той же буквенной частью. Для этого складывают числовые коэффициенты, не меняя букву. Так выражение упрощается: например, 5x − 2x превращается в 3x, и его значение при любом x остаётся прежним.
Значение выражения сохраняется, если преобразование основано на свойствах арифметических действий. Например, от перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому их можно записать в другом порядке, чтобы собрать похожие части. Точно так же распределительное свойство позволяет заменить произведение суммы на сумму произведений. Такие шаги удобны тем, что делают запись проще, но не меняют результат при тех же значениях переменных.
Если перед скобками стоит плюс, их можно убрать, оставив знаки слагаемых без изменения. Причина в том, что прибавить сумму — всё равно что прибавить каждое её слагаемое: a + (b + c) = a + b + c. Например, 6 + (x − 2) превращается в 6 + x − 2. Знаки внутри скобок не меняются, потому что перед всей суммой нет вычитания.
Минус перед скобками означает вычитание всего выражения, заключённого в них. Вычесть сумму — значит прибавить противоположные слагаемые: a − (b + c) = a − b − c. Поэтому при удалении скобок нужно изменить знаки у каждого слагаемого, а не только у первого. Например, 8 − (x − 3) = 8 − x + 3: слагаемое −3 внутри скобок после смены знака становится +3.
Числовой множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри них: k(a + b) = ka + kb. Так работает распределительное свойство умножения относительно сложения. Например, 4(x + 2) = 4x + 8, потому что четвёрка умножается и на x, и на 2. Если в скобках стоит разность, её слагаемые также получают множитель с учётом своих знаков.
После раскрытия скобок удобно найти подобные слагаемые и сложить их коэффициенты. Это возможно потому, что одинаковая буквенная часть является общим множителем: ax + bx = (a + b)x. Например, 3x + 5x = 8x, а 3x + 5y объединить нельзя. При сложении коэффициентов учитывают их знаки, а буквенную часть оставляют прежней.
В таблице собраны основные действия: сначала определите, что стоит перед скобками, затем выберите подходящее правило. Последний пример показывает, как объединяют уже раскрытые подобные слагаемые. Если в выражении одновременно есть несколько правил, применяйте их последовательно.
| Вид выражения | Преобразование | Что происходит со знаками |
|---|---|---|
| a + (b + c) | a + b + c | Знаки внутри скобок не меняются |
| a − (b + c) | a − b − c | Знаки всех слагаемых в скобках меняются |
| k(a + b) | ka + kb | Множитель умножается на каждое слагаемое |
| ax + bx | (a + b)x | Складываются коэффициенты, буквенная часть сохраняется |
Упростите выражение 7x + 3x − 5x. Здесь скобок нет, поэтому искать правила их раскрытия не нужно. У всех слагаемых одинаковая буквенная часть x, значит, они подобны и могут быть объединены. Складываем коэффициенты вместе с их знаками.
Ответ: 5x. Проверка на любом значении x подтверждает равенство: например, при x = 2 исходное выражение равно 14 + 6 − 10 = 10, а 5x = 10. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении коэффициентов.
Раскройте скобки и упростите выражение 4a − (2a − 3). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно поменять знаки обоих слагаемых внутри. После этого появятся подобные слагаемые с a, которые можно объединить. Число без буквенной части складывать с ними нельзя.
Ответ: 2a + 3. Число 3 остаётся отдельным слагаемым, потому что у него нет буквенной части. Если бы знак поменяли только у 2a, результат был бы неверным: минус перед скобками относится ко всему выражению в скобках.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 3(2x − 1) − 2(x + 4) + 5. Здесь одновременно есть множители перед скобками и минус перед второй скобкой. Поэтому сначала раскрываем каждую пару скобок, внимательно учитывая оба правила, и только затем объединяем одинаковые буквенные части. Свободные числа собираем отдельно.
Ответ: 4x − 6. При проверке проследите, что число −2 умножено и на x, и на 4. Если забыть второй множитель, изменится числовая часть ответа.
После минуса иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, если воспринимать знак перед скобками как относящийся лишь к ближайшему члену, хотя он относится ко всему выражению. Например, в −(a + b) нужно получить −a − b. Проверяйте результат, мысленно умножая каждое слагаемое в скобках на −1.
Бывает, что множитель перед скобками умножают только на первое слагаемое. Это легко пропустить, когда второе слагаемое записано после знака плюс или минус. В выражении 3(a + b) верный результат — 3a + 3b. Для самопроверки проведите от множителя по одному умножению к каждому слагаемому в скобках.
Нельзя складывать коэффициенты с разными буквенными частями, например в выражении 3x + 3y. Ошибка возникает, когда обращают внимание только на числа и не сравнивают буквы. Эти слагаемые не подобны, поэтому запись остаётся 3x + 3y. Перед объединением проверьте, совпадают ли буквы и их показатели, если они есть.
При приведении подобных слагаемых иногда меняют и буквенную часть. Например, из 2x + 5x ошибочно получают 7 или 7x². На самом деле складываются только коэффициенты, а буква x сохраняется: 2x + 5x = 7x. Проверяйте, что результат состоит из суммы коэффициентов и прежней буквенной части.
Для преобразований нужны свойства сложения и умножения, в том числе распределительное свойство. При работе со знаками помогают знания об отрицательных числах и раскрытии скобок в числовых выражениях: буквенная запись подчиняется тем же правилам. Упрощённые выражения затем используют при решении уравнений, где удобная запись облегчает поиск неизвестного. Эти преобразования также помогают доказывать тождества — равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.
Почему при раскрытии скобок после минуса меняются все знаки?
Минус перед скобками означает, что всё выражение в скобках вычитается. Вычитание суммы равносильно сложению противоположных слагаемых, поэтому знак меняется у каждого из них. Например, −(a + b) = −a − b.
Нужно ли умножать число перед скобками на каждое слагаемое?
Да: по распределительному свойству множитель умножается на каждое слагаемое внутри скобок. Например, 3(a + b) = 3a + 3b. Если умножить только первое слагаемое, исходное выражение изменится.
Можно ли складывать слагаемые с разными буквами?
Нет, слагаемые с разными буквенными частями не являются подобными, поэтому объединить их нельзя. Например, 3x и 3y остаются разными слагаемыми. Складывать можно только их числовые коэффициенты, когда буквенная часть совпадает.
Как привести подобные слагаемые, если у них отрицательные коэффициенты?
Сложите коэффициенты с учётом их знаков, а буквенную часть оставьте прежней. Например, −4x + 7x = (−4 + 7)x = 3x. Удобно сначала записать сложение коэффициентов в скобках.
В каком порядке удобнее выполнять преобразования выражения?
Обычно сначала раскрывают скобки, внимательно учитывая знаки и множители. Затем находят слагаемые с одинаковой буквенной частью и объединяют их. Если скобок нет, можно сразу привести подобные слагаемые.
§ 2. Преобразование выражений
