"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Свойства действий над числами объясняют, когда можно менять порядок слагаемых и множителей, а также по-другому группировать их. Благодаря этим правилам выражения можно преобразовывать, не меняя их значения, и выбирать удобный способ вычислений. Главное — не путать сложение с вычитанием и умножение с делением: переместительное и сочетательное свойства относятся не ко всем действиям. Ещё одно важное правило — распределительное свойство, которое помогает раскрывать скобки и выносить общий множитель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения: при перестановке слагаемых сумма не меняется, то есть a + b = b + a. Слагаемые — это числа, которые складывают. Свойство нужно, чтобы ставить их в удобном порядке и быстрее находить сумму.
Сочетательное свойство сложения: при изменении группировки слагаемых сумма не меняется: (a + b) + c = a + (b + c). Скобки показывают, какие числа складывают сначала. Благодаря этому можно объединить удобную пару, не меняя порядок чисел.
Переместительное свойство умножения: при перестановке множителей произведение не меняется, то есть ab = ba. Множители — числа, которые перемножают, а произведение — результат умножения. Свойство помогает выбрать удобный порядок множителей, например сначала перемножить числа, дающие круглое число.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: умножение суммы на число равносильно умножению каждого слагаемого на это число с последующим сложением результатов: a(b + c) = ab + ac. Оно позволяет раскрыть скобки или выполнить обратное преобразование — вынести общий множитель. Так проще работать и с числами, и с буквенными выражениями.
Сумма не зависит от порядка слагаемых: если к 3 прибавить 8, получится столько же, сколько при сложении 8 и 3. В обоих случаях результат равен 11, потому что складываются те же самые количества, только в другом порядке. Точно так же 4 · 6 и 6 · 4 равны 24: перестановка множителей не меняет число одинаковых групп и общий результат. Это объясняет, почему переместительные свойства удобны для выбора простого порядка вычислений.
Сочетательное свойство разрешает менять не порядок чисел, а способ их объединения. Например, (2 + 8) + 5 и 2 + (8 + 5) равны 15: в первом выражении сначала получается 10, а во втором — 13, но итоговая сумма одинакова. Причина в том, что слагаемые остаются теми же, и ни одно из них не теряется. Аналогично при умножении: (2 · 5) · 7 = 2 · (5 · 7) = 70, поэтому сначала можно выбрать пару, которую легче перемножить.
Распределительное свойство объясняет, как умножить сумму на число: 3(4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 = 18. Три группы по четыре и три группы по два вместе дают столько же, сколько три группы по шесть. Правило работает и в обратном направлении: 3 · 4 + 3 · 2 = 3(4 + 2), потому что общий множитель 3 есть в обоих слагаемых. Такое преобразование называют вынесением общего множителя за скобки.
При вычислениях можно сочетать переместительное и сочетательное свойства: переставлять числа, а затем объединять удобные пары. Например, в сумме 27 + 46 + 73 удобно сначала сложить 27 и 73, а в произведении 25 · 17 · 4 — сначала 25 и 4. Но правила для сложения и умножения нельзя без преобразований переносить на вычитание и деление. Например, изменение порядка в разности или делении обычно меняет результат.
| Свойство | Сложение | Умножение |
|---|---|---|
| Переместительное свойство | a + b = b + a | ab = ba |
| Сочетательное свойство | (a + b) + c = a + (b + c) | (ab)c = a(bc) |
| Распределительное свойство | — | a(b + c) = ab + ac |
| Нейтральный элемент | a + 0 = a | a · 1 = a |
В таблице a, b и c обозначают числа, а равенства показывают, как преобразовать выражение, не изменяя его значения. Выбирайте свойство по действию: переместительное меняет порядок, сочетательное — группировку, распределительное связывает умножение со сложением. Нейтральный элемент не меняет число: при сложении это 0, при умножении — 1.
Задача 1. Вычислите удобным способом: 27 + 46 + 73. Здесь выгодно сначала сложить числа, из которых получается круглая сотня. Перестановка и группировка не меняют сумму, поэтому можно не следовать исходному порядку.
Ответ: 146.
Задача 2. Вычислите: 25 · 17 · 4. Среди множителей есть 25 и 4, их произведение легко найти. Переместим и перегруппируем множители так, чтобы сначала получить 100.
Ответ: 1700.
Задача 3. Упростите выражение 6(2x − 3) + 4(x + 5). Нужно умножить число перед каждой парой скобок на каждый член внутри. Затем соберём слагаемые с x отдельно от чисел: такие слагаемые называют подобными, если у них одинаковая буквенная часть.
Ответ: 16x + 2.
При вычитании иногда меняют числа местами, считая, что действует переместительное свойство: a − b будто бы равно b − a. Это свойство относится к сложению, а разность зависит от порядка чисел. Проверить себя можно на примере: 8 − 3 = 5, но 3 − 8 = −5, поэтому выражения не равны.
Другая ошибка — менять группировку при вычитании: (a − b) − c приравнивают к a − (b − c). Внутри правых скобок знак перед c меняется при раскрытии, поэтому результат обычно другой; это легко пропустить, если ориентироваться только на расположение скобок. Для проверки подставьте числа: (10 − 4) − 2 = 4, а 10 − (4 − 2) = 8.
Раскрывая скобки, иногда умножают внешний множитель только на первое слагаемое. Например, запись 3(4 + 2) = 12 + 2 неверна: число 3 относится ко всей сумме. Проверьте себя, применив правило к каждому члену: должно получиться 3 · 4 + 3 · 2 = 18.
При вынесении общего множителя можно забыть разделить на него один из членов суммы или неверно определить сам множитель. Например, 6x + 9 нельзя записать как 3(2x + 9): после раскрытия скобок получится 6x + 27. Разделите на вынесенное число каждый член: верная запись — 3(2x + 3), а раскрытие скобок должно возвращать исходное выражение.
Чтобы пользоваться свойствами, нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить числа, в том числе числа с разными знаками. Эти действия и правила работы со знаками помогают проверять преобразования и не терять минусы. В дальнейшем свойства пригодятся при упрощении буквенных выражений, раскрытии скобок и вынесении общего множителя. Они также помогают преобразовывать уравнения, чтобы привести их к более удобному виду.
Можно ли менять местами слагаемые и множители?
Да. Для сложения верно a + b = b + a, а для умножения — ab = ba. Поэтому слагаемые и множители можно переставлять, если это удобно для вычисления.
Чем переместительное свойство отличается от сочетательного?
Переместительное свойство позволяет менять числа местами. Сочетательное позволяет менять, какие числа сначала объединить в скобках, не меняя их порядок.
Как раскрыть скобки перед суммой?
Нужно умножить число перед скобками на каждое слагаемое внутри них, а затем результаты сложить. Например, a(b + c) = ab + ac.
Как вынести общий множитель за скобки?
Найдите множитель, который есть в каждом слагаемом, и запишите его перед скобками. Внутри скобок укажите результат деления каждого слагаемого на этот множитель: например, ab + ac = a(b + c).
Почему переместительное свойство нельзя применять к вычитанию?
При вычитании порядок чисел влияет на результат: например, 8 − 3 = 5, а 3 − 8 = −5. Поэтому переставлять числа можно только после преобразования выражения по правилам, а не как при сложении.
4. Свойства действий над числами
