§ 1. Выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, например 8 + 3 · 2. Такая запись имеет смысл, если каждое указанное действие можно выполнить: сложение, умножение и вычитание возможны, а делить на ноль нельзя. Выражение нужно, чтобы кратко записывать вычисления и понимать, в каком порядке они выполняются.

Буквенное выражение — это запись, в которой наряду с числами и знаками действий используются буквы, обозначающие числа, например 4a + 7. Буква может обозначать одно число в конкретной задаче или разные числа в разных случаях. Благодаря буквам можно записать не один частный расчёт, а общее правило.

Значение выражения — число, полученное после выполнения всех действий в числовом выражении или после подстановки чисел вместо букв и вычисления. Например, значение выражения 5 + 2 равно 7, а значение 3a при a = 4 равно 12. Это понятие нужно, чтобы получить конкретный результат из записи.

Допустимые значения переменной — числа, которые можно подставить вместо буквы, чтобы выражение имело смысл. Переменную называют буквой, значение которой может меняться; например, в дроби значение знаменателя не должно быть нулём. Ограничения помогают заранее понять, при каких подстановках вычисление возможно.

Как это устроено

Числовое выражение передаёт не только набор чисел, но и последовательность действий. В записи 18 − 2 · (5 + 1) скобки показывают, что сначала нужно сложить 5 и 1, а умножение выполняется раньше вычитания. Если переставить действия или убрать скобки, получится уже другая запись и, возможно, другое число. Поэтому порядок действий — часть смысла выражения.

Буквенное выражение можно получить из числового, заменив некоторые числа буквами. Например, запись 3 · 4 + 2 описывает стоимость трёх предметов по 4 рубля и ещё 2 рубля, а запись 3a + 2 подходит для любой цены a. Буквы позволяют не переписывать вычисление для каждого возможного числа. Они особенно полезны, когда нужно выразить общую зависимость или правило.

Чтобы найти значение буквенного выражения, сначала вместо каждой буквы подставляют заданное число, а затем вычисляют получившееся числовое выражение. Например, в 3a + 2b при a = 4 и b = 5 вместо a записывают 4, а вместо b — 5; выходит 3 · 4 + 2 · 5. После подстановки действуют по обычному порядку вычислений. Если подставляется отрицательное число, скобки помогают не спутать знак числа со знаком действия.

Не всякую букву можно заменить любым числом, потому что некоторые действия имеют ограничения. Главное знакомое ограничение — деление на ноль: оно не определено, поэтому дробь со знаменателем, равным нулю, не имеет смысла. Чтобы найти допустимые значения, сначала определяют, какое действие может оказаться невозможным, а затем исключают подстановки, которые к нему приводят. Для выражений без таких препятствий ограничений может не быть.

Рассмотрим выражение (2x + 1)/(x − 3). Его числитель можно вычислить при любом x, но знаменатель не должен обращаться в ноль: x − 3 ≠ 0. Решая это простое условие, получаем x ≠ 3, то есть допустимы все числа, кроме 3. Проверка состоит в подстановке исключённого числа: при x = 3 знаменатель равен 3 − 3 = 0, а при любом другом x он не равен нулю.

Виды выражений и работа с ними

Сначала определите, есть ли в записи буквы: так вы поймёте, требуется ли подстановка. Затем проверьте, какие действия нужно выполнить и нет ли ограничений. Таблица помогает выбрать способ работы, но порядок действий в обоих случаях остаётся обязательным.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения 18 − 2 · (5 + 1).

Сначала смотрим на скобки: их содержимое нужно вычислить раньше остальных действий. После этого выполняем умножение, поскольку оно имеет приоритет перед вычитанием. Завершаем вычисление вычитанием.

1. Вычисляем в скобках: 5 + 1 = 6.
2. Умножаем: 2 · 6 = 12.
3. Вычитаем: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6.

Задача 2. Найти значение выражения 3a + 2b при a = 4 и b = 5.

Выражение содержит две переменные, поэтому заменяем каждую её заданным значением. Запись 3a означает произведение 3 и a, а 2b — произведение 2 и b. После подстановки остаётся вычислить числовое выражение, соблюдая порядок действий.

1. Подставляем числа: 3 · 4 + 2 · 5.
2. Выполняем умножение: 12 + 10.
3. Складываем: 12 + 10 = 22.

Ответ: 22.

Задача 3. При каких значениях x имеет смысл выражение (2x + 1)/(x − 3)? Найти его значение при x = 5.

В дроби нужно проверить знаменатель: числитель можно вычислить при любом x, а делить на ноль нельзя. Поэтому сначала найдём значение x, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его. Затем проверим, что заданное для вычисления число допустимо, и только после этого подставим его.

1. Записываем условие: x − 3 ≠ 0.
2. Находим ограничение: x ≠ 3. Значит, допустимы все числа, кроме 3.
3. Проверяем x = 5: это число не равно 3, поэтому подстановка допустима.
4. Подставляем: (2 · 5 + 1)/(5 − 3) = 11/2.

Ответ: выражение имеет смысл при x ≠ 3; при x = 5 его значение равно 11/2.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять действия слева направо, не учитывая их приоритет. Так делают, когда воспринимают запись как обычный текст, но умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, а скобки задают отдельный порядок. Проверьте себя: отметьте действие в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Если есть сомнение, запишите промежуточные результаты по шагам.

При подстановке отрицательного числа иногда не ставят скобки: например, заменяют a на −2 в записи a² и получают неверное представление о том, что возводится в квадрат. Скобки показывают, что отрицательное число целиком занимает место буквы: (−2)² = 4. Такая ошибка возникает, когда знак минус принимают за отдельный знак действия. Для проверки перепишите выражение с подстановкой полностью и только потом вычисляйте.

Некоторые считают, что переменной всегда можно придать любое значение. Но если буква стоит в знаменателе, нужно проверить, не обращается ли знаменатель в ноль: деление на ноль невозможно. Например, для x − 3 исключается x = 3. Подставьте найденное запрещённое число в знаменатель: если получится ноль, ограничение найдено верно.

Запись 3a иногда читают как сложение числа 3 и буквы a или забывают выполнить умножение. В алгебре число, стоящее рядом с буквой, означает произведение: 3a = 3 · a. К такому сокращению привыкают не сразу, потому что знак умножения не написан. Для проверки можно временно поставить его явно и подставить число, например при a = 4 получить 3 · 4 = 12.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужны навыки арифметики с натуральными, целыми и дробными числами, а также умение соблюдать порядок действий. Буквенные выражения пригодятся при тождественных преобразованиях, изучении формул и решении уравнений. Подстановка переменных позволяет вычислять значения формул и проверять, подходит ли найденное число в качестве решения уравнения. Поэтому важно освоить и саму запись выражения, и аккуратное вычисление его значения.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий.
• Буквенное выражение содержит переменные.
• Чтобы найти значение буквенного выражения, подставляют числа вместо переменных и выполняют действия.
• Порядок действий и скобки нельзя менять произвольно.
• На ноль делить нельзя.
• Значения переменной, при которых выражение имеет смысл, называются допустимыми.