§ 1. Выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок, которой соответствует определённое значение, если все указанные действия можно выполнить. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение, и его значение равно 14. Определение помогает отличить запись, которую можно вычислить, от записи с невозможным действием, например делением на ноль.

Выражение с переменными — запись, в которой наряду с числами, знаками действий и скобками используются буквы. Буква обозначает число, которое может меняться или пока неизвестно. Такая запись нужна, чтобы описывать вычисления сразу для разных чисел, а не переписывать отдельный пример для каждого из них.

Значение выражения — число, полученное после подстановки заданных значений переменных и выполнения всех действий. Например, при a = 2 выражение a + 5 имеет значение 7. Это понятие позволяет получить конкретный результат из общей записи и сравнить результаты для разных подстановок.

Допустимые значения переменных — значения, при которых выражение имеет смысл, то есть все входящие в него действия можно выполнить. Например, у дроби 1/(x − 4) нельзя брать x = 4, потому что знаменатель тогда станет нулём. Проверка допустимости нужна до вычисления: она показывает, можно ли вообще подставлять выбранное число.

Как это устроено

Порядок действий определяют по устройству записи, чтобы при одинаковом выражении все получали один и тот же результат. Сначала выполняют действия внутри скобок: они выделяют часть записи, которую нужно рассматривать отдельно. Затем выполняют умножение и деление, а сложение и вычитание — после них; действия одного уровня выполняют слева направо. Например, в записи 6 + 2 · 3 сначала считают 2 · 3, иначе результат зависел бы от того, как читатель произвольно сгруппировал действия.

Выражение с переменными само по себе обычно не задаёт одно числовое значение, потому что буквы могут обозначать разные числа. Так, a + 4 равно 7 при a = 3, но равно 10 при a = 6. Поэтому, пока значения букв не указаны, можно говорить о зависимости результата от переменных, а не об одном готовом числе. Если переменных несколько, для вычисления нужно задать значение каждой из них.

Чтобы найти значение выражения, сначала заменяют каждую переменную заданным числом, а потом вычисляют получившуюся числовую запись по правилам порядка действий. Например, для 3a + 2b при a = 4 и b = −1 подстановка даёт 3 · 4 + 2 · (−1). Скобки вокруг отрицательного числа показывают, что минус относится к самому числу, а не заменяет знак действия. После этого умножают и складывают: 12 − 2 = 10.

Ограничения на переменные возникают из действий, которые могут оказаться невыполнимыми при отдельных значениях. Чаще всего в таких примерах проверяют знаменатель дроби: он не должен обращаться в ноль, потому что на ноль делить нельзя. Для выражения (2x + 1)/(x − 3) знаменатель равен нулю при x = 3, значит, это значение исключают. Остальные значения x допустимы, если в записи нет других ограничений.

Одинаковый результат при одной подстановке говорит только о том, что значения двух выражений совпали для выбранных чисел. Например, выражения x + 1 и 3x − 1 при x = 1 оба равны 2, но при x = 2 дают 3 и 5. Поэтому одной проверки недостаточно, чтобы утверждать равенство выражений для всех допустимых значений. Для такого вывода требуется доказательство, например преобразование одной записи в другую.

Числовые выражения и выражения с переменными

Сравнивайте столбцы по строкам: так видно, что буквенная запись требует сначала задать значения переменных. Строка о смысле выражения напоминает, что и числовую запись нужно проверять на выполнимость действий. Таблица помогает быстро определить, какие сведения нужны перед вычислением.

Разбор задач

Задача 1. Найдите значение числового выражения 18 − 2 · (5 + 1). Сначала определим, какая часть записи должна быть вычислена раньше остальных. Скобки задают первое действие, а после него умножение имеет приоритет перед вычитанием.

1. Выполним действие в скобках: 5 + 1 = 6.
2. Умножим полученное число на 2: 2 · 6 = 12.
3. Вычтем 12 из 18: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6. Если бы мы начали с 18 − 2, то нарушили бы порядок действий и получили другой результат. Полезно после вычисления проверить, что каждое действие выполнено на своём этапе.

Задача 2. Найдите значение выражения 3a + 2b при a = 4 и b = −1. В записи две переменные, поэтому заменим каждую букву соответствующим числом. Отрицательное значение b заключим в скобки, чтобы знак числа не спутать со знаком действия.

1. Подставим значения: 3 · 4 + 2 · (−1).
2. Выполним умножение: 12 + (−2).
3. Сложим числа: 12 − 2 = 10.

Ответ: 10. Умножение выполнили раньше сложения, как того требует порядок действий. Скобки при −1 помогли правильно прочитать подстановку и сохранить знак числа.

Задача 3. При каких значениях x имеет смысл выражение (2x + 1)/(x − 3), и чему оно равно при x = 5? Сначала проверим знаменатель: именно деление может оказаться невыполнимым. Затем убедимся, что выбранное значение переменной не нарушает ограничение, и только после этого вычислим дробь.

1. Найдём, когда знаменатель равен нулю: x − 3 = 0, откуда x = 3.
2. Исключим это значение: выражение имеет смысл при x ≠ 3.
3. Проверим подстановку x = 5: это допустимое значение, потому что 5 ≠ 3.
4. Подставим и вычислим: (2 · 5 + 1)/(5 − 3) = 11/2.

Ответ: выражение имеет смысл при всех x, кроме 3; при x = 5 его значение равно 11/2. Проверка знаменателя до подстановки помогает не выполнять деление на ноль. В полученной дроби числитель равен 11, а знаменатель — 2.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выполнять все действия слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Так поступают, если воспринимают запись как обычную цепочку чисел; например, в 6 + 2 · 3 сначала ошибочно складывают 6 и 2. Проверяйте себя: отметьте скобки, затем умножение и деление, и лишь после них — сложение и вычитание.

Вторая ошибка — подставить отрицательное число без скобок, например заменить a в a² на −2 и прочитать запись как −2². Тогда минус можно ошибочно отнести к результату возведения в степень, хотя квадрат числа −2 равен 4. Записывайте подстановку как (−2)² и проверяйте, к какому числу относится действие.

Третья ошибка — считать, что переменная может принимать любое значение, не проверив знаменатель. Это происходит, когда внимание сосредоточено только на подстановке и вычислениях, но забывают о делении. Перед вычислением приравняйте знаменатель к нулю, найдите запрещённые значения и убедитесь, что выбранное число им не равно.

Четвёртая ошибка — объявлять выражения равными после совпадения результата при одной подстановке. Такая проверка подтверждает только частный случай, а при других числах значения могут различаться. Для самопроверки возьмите ещё одну подстановку: если результаты разные, равенства нет; если совпали, это всё равно ещё не доказательство для всех значений.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужны арифметические действия с рациональными числами, то есть числами, которые можно представить в виде дроби, а также правила порядка действий и раскрытия скобок. Эти навыки позволяют правильно вычислять результат после подстановки и преобразовывать запись. Если ошибиться в арифметике или порядке действий, ошибка перейдёт в решение задачи с буквами.

Выражения с переменными станут основой для упрощения алгебраических выражений и решения уравнений. С их помощью записывают зависимости между величинами: например, как меняется стоимость покупки при изменении количества товаров. Умение находить допустимые значения помогает понимать, при каких исходных данных такая запись описывает возможный расчёт.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий.
• В выражении с переменными значение зависит от выбранных значений переменных.
• При подстановке нужно соблюдать порядок действий.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Значение выражения находят только при допустимых значениях переменных.
• Совпадение значений при одной подстановке не доказывает тождественное равенство выражений.