"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Выражение — это запись, которая с помощью чисел, букв и знаков действий показывает вычисление или связь между величинами. Числовое выражение задаёт число, если все действия в нём можно выполнить. В выражении с переменными буквы обозначают числа, поэтому его значение зависит от того, какие числа им соответствуют. Чтобы вычислять верно, нужно соблюдать порядок действий и правильно подставлять значения букв. Умение составлять выражения помогает кратко записывать задачи, формулы и зависимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 8 + 2 · 5 — числовое выражение. Оно имеет смысл, если входящие в него действия можно выполнить: делить на ноль нельзя, поэтому запись 6 : (3 − 3) не задаёт число.
Выражение с переменными — запись, в которой наряду с числами и знаками действий используются буквы, обозначающие числа. Например, 4x − 1 содержит переменную x: вместо неё можно подставить число. Такая запись позволяет не перечислять отдельные случаи, а описывать вычисление сразу для разных чисел.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. У числового выражения оно определено самой записью, а у выражения с переменными зависит от того, какие числа выбраны вместо букв. Поэтому, прежде чем вычислять буквенное выражение, нужно знать значения его переменных.
Выражения составляют из чисел, переменных и знаков действий, чтобы короче записать вычисление или зависимость между величинами. Например, если цена одной тетради равна p рублей, стоимость пяти тетрадей можно записать как 5p. Буква здесь заменяет число, а запись показывает, какое действие нужно выполнить. Благодаря этому одно выражение подходит для многих возможных значений цены.
Порядок действий определяет результат, потому что одна и та же последовательность знаков может дать разные числа при разном порядке вычислений. В записи 18 − 3 · 4 сначала умножают 3 на 4, а затем вычитают полученное из 18. Скобки позволяют явно указать, какие действия нужно выполнить вместе и раньше остальных. Поэтому при вычислении важно учитывать и правила порядка действий, и скобки.
Чтобы найти значение выражения с переменными, сначала заменяют буквы заданными числами, а потом выполняют действия. Например, для выражения 2a + 5 при a = 3 вместо a записывают 3. Получается числовое выражение 2 · 3 + 5, которое уже можно вычислить. Подстановка превращает общую запись в конкретный расчёт.
Если одна и та же буква встречается в выражении несколько раз, при каждой подстановке она обозначает одно и то же число. Иначе запись потеряла бы смысл: вместо одной величины в разных местах оказались бы разные числа. Например, в выражении x + 2x при x = 4 оба вхождения x заменяют числом 4. Получается 4 + 2 · 4, а не сумма чисел, выбранных отдельно для каждой буквы.
Словесное условие переводят в выражение, сначала определяя величину, которую удобно обозначить буквой, а затем выбирая нужные действия. Слова «удвоить число x» означают умножить его на 2, а «прибавить 7» — добавить 7 к полученному. Так возникает запись 2x + 7. Проверить перевод можно, пересказав действия по записи: сначала число x удваивают, потом прибавляют 7.
| Вид записи | Что входит в запись | Как находят значение |
|---|---|---|
| Числовое выражение | Числа, знаки арифметических действий и скобки | Выполняют действия по установленному порядку |
| Выражение с переменными | Числа, переменные, знаки действий и, возможно, скобки | Сначала задают значения переменных, затем вычисляют |
| Подстановка чисел вместо переменных | Исходное выражение и заданные числа для букв | Заменяют каждую букву соответствующим числом и выполняют действия |
Сначала определите, какие элементы входят в запись: только числа или также буквы. Если есть переменные, найдите указанные для них значения и сделайте подстановку. После этого вычисляйте полученную запись, соблюдая порядок действий.
Задача 1. Найти значение числового выражения 18 − 3 · 4. Здесь есть вычитание и умножение, но они выполняются не в том порядке, в каком записаны знаки. Умножение имеет преимущество перед вычитанием, поэтому сначала вычислим произведение. Затем выполним оставшееся действие.
Ответ: 6. Такой порядок не даёт ошибочно принять запись за действие, которое нужно считать строго слева направо.
Задача 2. Найти значение выражения 2a + 5 при a = 3. Буква a обозначает заданное число 3, значит, заменим ею каждое вхождение переменной. После подстановки получим числовое выражение и вычислим его по порядку действий. Сначала умножим, затем прибавим.
Ответ: 11. Подстановка нужна, чтобы определить значение буквенной записи для конкретного числа a.
Задача 3. Записать выражением: к удвоенному числу x прибавить 7; найти значение при x = 4. Сначала переведём условие в действия. Удвоенное число x — это произведение 2 и x, затем к нему прибавляют 7. После составления выражения подставим заданное число.
Ответ: выражение 2x + 7; при x = 4 его значение равно 15. Проверка смыслом: число 4 удваиваем, получаем 8, а затем прибавляем 7.
В выражении 18 − 3 · 4 иногда сначала выполняют вычитание, потому что оно стоит левее умножения. Так получают неверный результат: умножение выполняется раньше сложения и вычитания. Чтобы проверить себя, отметьте действия одинакового уровня и проверьте, какое из них имеет приоритет. Здесь сначала должно получиться 3 · 4 = 12.
При подстановке a = 3 можно заменить букву только в одном месте, если она встречается несколько раз. Это происходит, когда подстановку воспринимают как замену отдельных символов, а не одной и той же величины. Проверьте каждое вхождение буквы: все они должны стать числом 3. Например, x + 2x при x = 4 превращается в 4 + 2 · 4.
Удвоенное число x иногда записывают как x + 2. Ошибка возникает из-за смешения слов «удвоить» и «увеличить на два»: удвоить означает умножить на 2, поэтому верная запись — 2x. Проверить перевод можно на простом числе: если x = 4, удвоенное число равно 8, а 4 + 2 равно 6.
Выражение с переменной могут считать числом, которое всегда остаётся одним и тем же. Но при изменении значения переменной меняется и результат выражения, поэтому без заданных значений букв обычно нельзя получить одно конкретное число. Для проверки подставьте два разных числа и сравните результаты. Например, 2x + 5 при x = 1 равно 7, а при x = 3 равно 11.
Для работы с выражениями нужны навыки арифметических действий с натуральными числами и дробями. Также необходимо знать порядок выполнения действий: без этих умений можно неверно вычислить даже простую запись. Освоенные выражения с переменными затем используют при составлении и чтении формул. Они нужны и при преобразовании выражений, и при решении уравнений, где с помощью букв записывают неизвестные числа и связи между ними.
Чем числовое выражение отличается от выражения с переменными?
В числовом выражении есть числа, знаки действий и, возможно, скобки. В выражении с переменными используются ещё и буквы, обозначающие числа; его значение зависит от того, какие числа подставлены.
Как найти значение выражения с переменными?
Замените каждую букву заданным числом, а затем выполните действия по установленному порядку. Если буква встречается несколько раз, во всех местах подставляют одно и то же число.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют по порядку слева направо.
Что означает подставить число вместо переменной?
Это значит заменить букву числом, которое указано в условии. После замены получается числовое выражение, значение которого можно вычислить.
Как записать выражением условие, данное словами?
Сначала определите, какую величину обозначает переменная, а затем переведите слова в действия. Например, «к удвоенному числу x прибавить 7» записывается как 2x + 7.
§ 1. Выражения
