§ 4. Функции и их графики

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой переменной. Например, правило «умножить число на 3 и вычесть 2» задаёт одно определённое число для каждого выбранного числа. Это условие помогает понять, можно ли считать зависимость функцией.

Независимая переменная, или аргумент, — переменная, значение которой выбирают; обычно её обозначают x. В формуле аргумент подставляют вместо буквы, чтобы проследить, что получится по правилу. Благодаря этому можно проверить зависимость для разных исходных значений.

Зависимая переменная — переменная, значение которой определяется аргументом; обычно её обозначают y и записывают y = f(x). Читают эту запись так: y — функция от x. Она показывает, какая величина меняется вслед за аргументом, и позволяет обозначить правило зависимости.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Например, если формула содержит дробь, нужно исключить значения, при которых знаменатель становится нулём. Область определения нужна, чтобы не подставлять числа, для которых правило не даёт допустимого результата.

Как это устроено

Одну и ту же зависимость можно описать разными способами. Пусть правило состоит в том, чтобы умножить x на 2 и прибавить 1: его можно записать формулой y = 2x + 1. Для нескольких выбранных значений x соответствующие числа y записывают в таблицу, а словами правило звучит так: «удвоить аргумент и прибавить единицу». Формула удобна для вычислений, таблица показывает отдельные пары значений, а словесное описание помогает объяснить смысл правила.

Ровно одно значение y для каждого x требуется потому, что иначе невозможно однозначно определить результат по заданному аргументу. Например, правилу y = x² при x = 2 соответствует только y = 4, поэтому правило подходит. А зависимость «x соответствует числам y, для которых y² = x» при x = 4 даёт два значения: y = 2 и y = −2. Она не является функцией y от x, потому что одному аргументу отвечают два разных результата.

Чтобы найти значение функции по формуле, сначала заменяют букву аргумента заданным числом, затем выполняют действия в привычном порядке. Например, в выражении y = 3x − 2 при x = 4 вместо x подставляют 4 и вычисляют 3 · 4 − 2. Получают y = 10. Такая запись показывает не только результат, но и то, как выбранный аргумент связан с ним.

Область определения может задаваться условием задачи или ограничениями самой формулы. Если сказано, что x — число учеников в группе, обычно рассматривают целые неотрицательные значения, а условия задачи могут ограничить их ещё сильнее. В выражении y = 5/(x − 1) нельзя брать x = 1: тогда знаменатель равен нулю, а деление на ноль не определено. Поэтому перед вычислениями нужно проверить, допустимо ли выбранное значение аргумента.

График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)): первая координата каждой точки — аргумент, вторая — соответствующее значение функции. Чтобы построить график по таблице, вычисляют несколько пар x и y, отмечают точки на координатной плоскости и соединяют их, если это подходит для данной функции. Для прямой функции y = 2x − 1 точки лежат на одной прямой, поэтому их можно соединить линейкой. Порядок координат важен: точка (1; 1) и точка (1; 2) — разные точки.

Основные понятия о функции

Сначала определите, что именно дано: выбранный аргумент, правило или график. Затем воспользуйтесь соответствующей подсказкой в третьем столбце, чтобы найти значение или построить точку. Если работаете с графиком, помните: аргумент откладывают по горизонтальной оси, а значение функции — по вертикальной.

Разбор задач

Задача 1

Для зависимости y = 3x − 2 найдите значение y при x = 4. Здесь аргумент уже задан, поэтому искать область определения или строить график не требуется. Нужно определить, какое значение зависимой переменной получается по указанному правилу.

1. Записываем формулу y = 3x − 2 и подставляем вместо x число 4: y = 3 · 4 − 2.
2. Сначала выполняем умножение: 3 · 4 = 12. Затем вычитаем 2: 12 − 2 = 10.

Ответ: при x = 4 значение функции y равно 10. Проверить результат можно обратной подстановкой: в формуле при x = 4 действительно получается 10.

Задача 2

Для функции y = x² + 1 составьте таблицу значений при x = −2, −1, 0, 1, 2. Для каждой строки нужно отдельно вычислить y по одной и той же формуле. Особенно внимательно возводите отрицательное число в квадрат: квадрат числа −2 равен 4, а не −4.

1. При x = −2: y = (−2)² + 1 = 4 + 1 = 5. При x = −1: y = (−1)² + 1 = 1 + 1 = 2.
2. При x = 0: y = 0² + 1 = 1. При x = 1: y = 1² + 1 = 2.
3. При x = 2: y = 2² + 1 = 4 + 1 = 5. Записываем найденные значения напротив соответствующих аргументов.

Ответ: таблица имеет пары (−2; 5), (−1; 2), (0; 1), (1; 2), (2; 5). Каждая пара содержит сначала аргумент, затем значение функции. По этим парам можно отметить точки графика.

Задача 3

Постройте график функции y = 2x − 1 при x = −2, −1, 0, 1, 2 и определите по графику значение функции при x = 1. Поскольку значения аргумента перечислены, удобно сначала вычислить соответствующие значения y. Полученные пары станут координатами точек на плоскости.

1. Подставляем аргументы в формулу: при x = −2 получаем y = −5, при x = −1 — y = −3, при x = 0 — y = −1.
2. Продолжаем вычисления: при x = 1 получаем y = 1, а при x = 2 — y = 3. Записываем пары: (−2; −5), (−1; −3), (0; −1), (1; 1), (2; 3).
3. На координатной плоскости отмечаем каждую пару: сначала отыскиваем x по горизонтальной оси, затем y по вертикальной. Проводим через отмеченные точки прямую, так как график линейной функции является прямой.
4. Находим x = 1 на горизонтальной оси и смотрим, где график соответствует этому аргументу. По точке (1; 1) видим, что значение функции равно 1.

Ответ: график проходит через перечисленные точки; при x = 1 значение функции равно 1. Результат совпадает с вычислением по формуле 2 · 1 − 1 = 1, поэтому его можно проверить без графика.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать функцией любую зависимость. Её допускают, если проверяют, что величины связаны, но забывают проверить единственность результата; например, x = 4 и уравнение y² = x дают y = 2 и y = −2. Для проверки возьмите одно значение аргумента и выясните, получается ли только одно значение зависимой переменной.

Вторая ошибка — путать аргумент со значением функции. Обычно это происходит потому, что обе переменные записаны буквами и стоят в одной формуле. Помните: x подставляют, а y получают после вычисления; для самопроверки подставьте x в формулу и посмотрите, что получилось справа.

Третья ошибка — забывать об ограничениях области определения, например подставлять число, обнуляющее знаменатель. Такое случается, когда начинают вычисления сразу, не проверяя допустимость аргумента. Перед подстановкой найдите возможные запреты в формуле: у дроби знаменатель не должен равняться нулю.

Четвёртая ошибка — перепутать координаты точки графика. Если записать (y; x) вместо (x; y), точка окажется не там, где нужно, даже при верно вычисленном значении функции. Проверяйте запись пары: первой всегда указывают координату аргумента x, второй — значение y = f(x).

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости, читать упорядоченные пары чисел и подставлять числа в выражения. Эти навыки помогают перейти от формулы к таблице и от таблицы к графику. Каждая точка на графике связывает конкретный аргумент с его значением.

Понятие функции пригодится при изучении линейной функции: её график можно исследовать по формуле и строить по точкам. Графики и зависимости также помогают разбирать системы уравнений и сравнивать величины. Поэтому умение читать координаты и находить значения функции будет использоваться в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y.
• Запись y = f(x) указывает на зависимость y от x.
• Область определения — все допустимые значения аргумента.
• Чтобы найти значение функции, подставляют аргумент в формулу.
• Точка графика функции имеет координаты (x; f(x)).