§ 5. Функции и их графики

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Например, если каждому числу x по правилу прибавляют 1, получается ровно одно число. Это условие помогает отличить функцию от зависимости, где одному и тому же x могут соответствовать разные результаты.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Её значение можно выбирать из области допустимых значений, после чего по правилу находить результат. Понимание, где аргумент, а где результат, помогает правильно подставлять числа и читать записи функции.

Значение функции — значение зависимой переменной y, соответствующее выбранному аргументу; запись y = f(x) читают как «значение функции f в точке x». Буква f обозначает правило зависимости, а f(x) — полученный результат для выбранного x. Эта запись позволяет коротко указать, какое именно значение функции нужно найти.

График функции — множество точек координатной плоскости, абсциссы которых являются аргументами, а ординаты — соответствующими значениями функции. Поэтому координаты любой такой точки имеют вид (x; f(x)). График наглядно показывает, как меняется значение функции при изменении аргумента.

Как это устроено

Связь двух величин становится функцией, когда для каждого допустимого значения первой величины можно однозначно определить вторую. Если для одного и того же x правило допускает два разных y, условие функции нарушено: результат уже нельзя однозначно назвать значением функции при этом аргументе. Например, правило «выбрать число, квадрат которого равен 9» при одном условии даёт два результата, 3 и −3. Чтобы задать функцию, нужно уточнить правило или допустимые значения так, чтобы результат был единственным.

В записи y = f(x) буква f — обозначение правила, а x — аргумент, который в это правило подставляют. Скобки в f(x) не означают умножение: они показывают, что речь идёт о значении функции при выбранном x. Например, если f(x) = 2x + 1, то f(3) — результат применения правила к числу 3. Такая запись удобна, когда нужно отличить само правило от отдельного вычисленного значения.

Чтобы найти значение функции по формуле, заменяют переменную x заданным числом и выполняют действия в установленном порядке. Если в формуле есть степень, её вычисляют до сложения и вычитания. Например, для y = x² + 1 при x = −2 сначала находят (−2)² = 4, затем прибавляют 1. Скобки нужны, чтобы было ясно: возводится в квадрат всё число −2, а не только цифра 2.

Точка графика имеет координаты (x; f(x)), потому что её горизонтальная координата показывает аргумент, а вертикальная — соответствующий результат. Чтобы проверить точку, подставляют её абсциссу в формулу и сравнивают полученное значение с ординатой. Если ищут значение функции по графику, находят на горизонтальной оси нужный x и считывают высоту точки графика. Если известно значение y, ищут точки графика с такой ординатой и определяют их абсциссы.

Область определения — набор всех значений аргумента, для которых функция задана. Иногда её прямо ограничивает условие задачи: например, время не может быть отрицательным. Ограничение может возникнуть и из формулы: в дроби нельзя делить на ноль, поэтому для y = 6/(x − 1) значение x = 1 недопустимо. Проверка области определения нужна до вычислений, иначе можно получить выражение, которое не имеет смысла.

На графике функции y = 2x + 1 каждой выбранной абсциссе соответствует одна ордината. Например, при x = 2 получается y = 5, поэтому точка (2; 5) лежит на графике. График позволяет увидеть эту связь без повторного вычисления по формуле.

Способы задания функции и извлечение информации

В таблице показан способ задания функции формулой: выражение сообщает, как получить значение по аргументу. Чтобы извлечь из него нужную информацию, подставь заданный x и вычисли результат. Затем полученную пару (x; y) можно использовать для построения или проверки точки графика.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 3x − 2 найдите значение при x = 4. Здесь аргумент уже известен, поэтому нужно применить правило к числу 4. Важно подставить число именно вместо x и не перепутать его с искомым значением функции.

1. Записываем формулу и заданное значение аргумента: x = 4. Это помогает увидеть, какое число нужно подставить.
2. Вместо x ставим 4: y = 3 · 4 − 2. Сначала выполняем умножение, затем вычитание.
3. Получаем y = 12 − 2 = 10. Значение функции при x = 4 равно 10.

Ответ: 10.

Задача 2. Для функции y = x² + 1 найдите значения при x = −2 и x = 2. Вычислим каждый результат отдельно, потому что аргументы разные. Затем сравним ответы: функция может принимать одно значение при нескольких аргументах.

1. При x = −2 подставляем это число в формулу: y = (−2)² + 1. Скобки показывают, что в квадрат возводится отрицательное число целиком.
2. Вычисляем: (−2)² = 4, поэтому y = 4 + 1 = 5. Значение функции при аргументе −2 равно 5.
3. При x = 2 получаем y = 2² + 1 = 4 + 1 = 5. Оба результата совпали, хотя аргументы различаются.

Ответ: при x = −2 значение равно 5, при x = 2 — тоже 5.

Задача 3. Для функции y = 6/(x − 1) укажите область определения и найдите значение при x = 3. Сначала выясним, при каких x формула имеет смысл: знаменатель не должен обращаться в ноль. После этого проверим заданное значение и выполним подстановку.

1. Знаменатель равен x − 1. Исключаем значение, при котором x − 1 = 0, то есть x = 1.
2. Значит, область определения — все числа, кроме 1. Заданное число 3 допустимо, поскольку 3 не равно 1.
3. Подставляем x = 3: y = 6/(3 − 1) = 6/2 = 3. Значение функции найдено после проверки допустимости аргумента.

Ответ: область определения — все x, кроме 1; при x = 3 значение функции равно 3.

Типичные ошибки

Ошибка — считать функцией любую зависимость, даже если одному аргументу соответствуют несколько результатов. Так бывает, когда замечают связь величин, но забывают проверить условие единственности. Для проверки выбери один аргумент и выясни, не допускает ли правило для него два разных значения функции.

Иногда путают аргумент x и значение функции f(x): например, записывают заданное число как ответ, не выполнив вычисления. Причина — обе величины обозначены буквами и стоят в одной формуле. Проверяй себя так: число из условия подставляется вместо x, а ответом становится результат вычислений.

В область определения могут ошибочно включить значение, при котором формула не имеет смысла. Чаще всего забывают проверить знаменатель дроби или невнимательно выполняют условие задачи. Подставь спорное число в формулу и проверь, можно ли выполнить все действия; знаменатель, в частности, не должен быть равен нулю.

Известные координаты ещё не доказывают, что точка принадлежит графику функции. Ошибка возникает, если не сравнить координаты с правилом зависимости. Подставь абсциссу точки вместо x и проверь, равен ли результат её ординате: должно выполняться y = f(x).

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны навыки чтения координат точки на плоскости и подстановки чисел в выражения. Без них трудно перейти от формулы к паре координат или правильно определить положение точки. Эти умения позволяют связывать вычисления с наглядным изображением.

Понятие функции пригодится при изучении линейной функции: её график показывает, как изменяется y при изменении x. Оно также помогает решать уравнения и задачи на зависимость величин. Формула задаёт правило, а график позволяет увидеть результаты и сравнить их.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, а значение функции — y или f(x).
• Чтобы найти значение функции, подставляют аргумент в формулу.
• График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)).
• Область определения — все допустимые значения аргумента.
• Одна и та же функция может принимать одинаковые значения при разных аргументах.