12. Что такое функция

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой переменной. Допустимым называют значение, при котором правило зависимости можно применить. Это определение помогает отличить функцию от связи, где для одного входного значения возможны несколько разных результатов. Например, правило «удвоить число» задаёт функцию: у каждого числа ровно один удвоенный результат.

Аргумент функции — независимая переменная, которую обычно обозначают буквой x. Ей задают допустимые значения, а правило функции использует каждое из них для получения результата. Аргумент можно представить как входные данные: сначала выбирают число, затем применяют к нему правило. Это понятие нужно, чтобы понимать, какое именно значение подставляется в формулу.

Значение функции — результат, который соответствует выбранному значению аргумента. Если аргумент обозначен x, результат можно записать как f(x); также часто используют букву y. Например, при правиле «прибавить 5» значению x = 2 соответствует значение функции 7. Обозначение показывает, какой результат получен именно для выбранного аргумента.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых зависимость имеет смысл. В неё включают только те числа, которые можно подставить в правило без запрещённых действий. Например, делить на ноль нельзя, поэтому ноль не входит в область определения функции y = 12/x. Знание области определения позволяет не подставлять недопустимые значения.

Как это устроено

Чтобы распознать функциональную зависимость, выберите одно значение аргумента и выясните, какой результат ему соответствует. Для функции результат должен быть единственным: одному x нельзя одновременно поставить в соответствие два разных y. Это условие важно потому, что иначе правило не определяло бы, какое именно значение считать результатом. При этом разные аргументы могут привести к одному и тому же результату.

Запись y = f(x) показывает, как связаны обозначения. Буква x называет аргумент, f обозначает правило, а f(x) — результат применения этого правила к x; буква y — другое обозначение того же результата. Поэтому выражение f(3) означает значение функции при аргументе 3, а не произведение букв f и 3. Такая запись удобна, когда правило сложнее или его нужно сравнивать с другими функциями.

Чтобы найти значение функции по формуле, вместо аргумента подставляют заданное число. Затем выполняют действия в формуле, соблюдая порядок вычислений и учитывая знаки числа. Подстановка нужна потому, что формула задаёт правило получения результата именно из аргумента. Например, при y = 3x − 2 для x = 4 вычисляют 3 · 4 − 2.

Область определения находят, проверяя, какие значения аргумента разрешены формулой. Если в формуле есть дробь, её знаменатель не должен быть равен нулю: деление на ноль не имеет смысла. Поэтому для y = 12/x значение x = 0 нужно исключить, а остальные числа допустимы. Если формула не создаёт ограничений, допустимыми могут быть все числа.

Одна и та же функция может быть задана формулой, таблицей или словесным описанием правила. Формула указывает действие, таблица перечисляет некоторые аргументы и соответствующие им результаты, а описание объясняет, как результат получить. Чтобы найти значение, прочитайте правило в выбранной форме и примените его к заданному аргументу. Если дано описание ситуации, сначала определите, какая величина играет роль аргумента, а какая зависит от неё.

Как задаётся функция

Сначала определите, каким способом задана функция, а затем найдите правило или нужную пару значений. В таблице можно сразу прочитать результат только для перечисленных аргументов; для остальных понадобится дополнительное правило. При словесном описании внимательно выясните, какую величину выбирают и какое действие с ней выполняют.

Разбор задач

Задача 1. По формуле y = 3x − 2 найдите y при x = 4. Аргумент уже задан, поэтому нужно применить правило к числу 4. Сначала выполним умножение, затем вычитание.

1. Записываем формулу: y = 3x − 2.
2. Подставляем x = 4 вместо каждой буквы x: y = 3 · 4 − 2.
3. Вычисляем: y = 12 − 2 = 10.

Ответ: при x = 4 значение функции y равно 10. Проверка проста: подстановка числа 4 в исходное правило приводит к этому результату.

Задача 2. Для зависимости y = 12/x укажите область определения и найдите y при x = 3. Сначала выясним, какие значения можно подставлять, ведь формула содержит дробь. Затем проверим, допустим ли аргумент 3, и вычислим значение функции.

1. Знаменатель x не должен равняться нулю, поэтому x ≠ 0.
2. Область определения — все числа, кроме нуля.
3. Подставляем x = 3: y = 12/3 = 4.

Ответ: область определения — все числа, кроме 0; при x = 3 значение функции равно 4. Число 3 допустимо, потому что при его подстановке знаменатель не обращается в ноль.

Задача 3. Зависимость задана формулой y = x² − 1. Составьте таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2 и выясните, могут ли разным аргументам соответствовать одинаковые значения. Возводить в квадрат нужно всё значение аргумента, в том числе отрицательное число. После вычислений сравним результаты и проверим условие функции.

1. При x = −2: y = (−2)² − 1 = 3; при x = −1: y = (−1)² − 1 = 0.
2. При x = 0: y = 0² − 1 = −1; при x = 1: y = 1² − 1 = 0.
3. При x = 2: y = 2² − 1 = 3. Таблица: x — −2, −1, 0, 1, 2; y — 3, 0, −1, 0, 3.

Ответ: разным аргументам могут соответствовать одинаковые значения: −2 и 2 дают 3, а −1 и 1 дают 0. Это не нарушает определение функции, поскольку каждому отдельному аргументу соответствует ровно один результат.

Типичные ошибки

Ошибка — считать функцией зависимость, где одному аргументу соответствуют два разных результата. Её допускают, если смотрят только на наличие связи между величинами, а не проверяют единственность ответа. Проверьте каждый аргумент: для одного и того же входного значения не должно быть двух выходных. Если оба результата возможны одновременно, условие функции нарушено.

Иногда путают аргумент и значение функции: x принимают за результат, а f(x) — за входное число. Причина обычно в том, что обе величины обозначены буквами и записаны рядом. Вспомните порядок действий: сначала выбирают x, затем подставляют его в правило и получают f(x). Самопроверка — спросить себя, какое число подставляют, а какое находят.

Ещё одна ошибка — включать в область определения значения, при которых формула не имеет смысла. Например, для y = 12/x иногда забывают исключить x = 0, потому что рассматривают только заданные числа. Перед вычислениями проверьте формулу на запрещённые действия, в частности на деление на ноль. Если знаменатель при некотором аргументе равен нулю, этот аргумент нужно исключить.

Не нужно требовать, чтобы разным аргументам обязательно соответствовали разные значения функции. Так ошибаются, смешивая условие функции с правилом, которое каждому результату сопоставляет только один вход. Проверка устроена иначе: смотрят, не получает ли один аргумент два результата. Например, y = x² — функция, хотя при x = −2 и x = 2 значение одинаково и равно 4.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны навыки подстановки чисел в буквенные выражения и вычислений с рациональными числами. Они помогают правильно получить значение функции и не ошибиться со знаками или порядком действий. Понятие функции станет основой для изучения графиков, линейной и других зависимостей. Формулы и таблицы помогают описывать задачи о движении, стоимости и других величинах, в которых изменение одной величины связано с изменением другой.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Чтобы найти значение функции, подставляют аргумент в правило зависимости.
• Область определения содержит все допустимые значения аргумента.
• Разные аргументы могут иметь одинаковые значения функции.
• Функцию можно задать формулой, таблицей или словесным правилом.