5.2 Что такое функция

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y. Например, правило y = x² каждому числу x ставит в соответствие его квадрат. Это понятие помогает точно описывать, как одна величина зависит от другой.

Аргумент функции — независимая переменная x, значения которой выбирают из области определения. Её называют независимой, потому что сначала задают именно её, а затем по правилу находят y. Знание аргумента позволяет вычислить нужный результат.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Например, в дроби знаменатель не может быть равен нулю, поэтому некоторые значения x приходится исключать. Область определения показывает, какие входные данные разрешены.

Множество значений функции — множество всех значений зависимой переменной y, которые получает функция. Оно зависит и от правила, и от области определения. Например, для y = x² результат не бывает отрицательным, поэтому множество значений задаётся условием y ≥ 0.

Как это устроено

Однозначность означает, что одному значению x нельзя сопоставить сразу несколько разных значений y. Иначе, зная аргумент, мы не смогли бы определить единственный результат работы правила. Поэтому зависимость y² = x при x > 0 не является функцией y от x: одному x соответствуют y = √x и y = −√x.

Значение функции находят по тому способу, которым она задана. В формуле известное число подставляют вместо x, в таблице находят соответствующую строку или столбец, а по графику поднимаются от нужного x к точке графика и считывают её координату y. При словесном правиле сначала выполняют описанные действия, например умножают аргумент на 3 и вычитают 2.

Область определения нельзя выбирать произвольно: формула должна иметь математический смысл. В дроби знаменатель исключают из области, если он обращается в ноль; при квадратном корне подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для других выражений действуют свои ограничения, поэтому перед вычислением полезно проверить допустимость x.

Переменная x — это аргумент, y — полученное значение, а f(x) — не новая переменная, а обозначение результата функции f при данном x. Например, если f(x) = 2x + 1, то f(3) = 7. На графике функции отмечены все пары (x; y), где y получено по правилу; вертикальная прямая не может иметь с таким графиком более одной общей точки.

Основные элементы понятия функции

Таблицу удобно использовать как краткий словарь обозначений. Сначала определите, какое число дано: аргумент, результат или ограничение для них. Для функции y = x² можно взять x = −2 и получить y = 4, а затем проверить, что оба числа соответствуют нужным столбцам.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 3x − 2 найдите значение y при x = 4 и значение аргумента, при котором y = 10. В первой части известен аргумент, а во второй — результат. Поэтому применяем формулу сначала для вычисления, а затем как уравнение.

1. Подставим x = 4: y = 3 · 4 − 2 = 12 − 2 = 10.
2. Теперь приравняем формулу к 10: 3x − 2 = 10.
3. Решим уравнение: 3x = 12, значит x = 4.

Ответ: при x = 4 значение y равно 10; значение аргумента при y = 10 равно 4.

Задача 2. Найдите область определения функции y = (x + 1)/(x − 2) и вычислите её значение при x = 3. Сначала проверяем ограничение дроби, потому что деление на ноль невозможно. Только после этого выполняем подстановку допустимого аргумента.

1. Знаменатель не должен обращаться в ноль: x − 2 ≠ 0, поэтому x ≠ 2.
2. Область определения — все действительные числа, кроме 2.
3. При x = 3 получаем y = (3 + 1)/(3 − 2) = 4/1 = 4.

Ответ: D(f) — все действительные числа, кроме 2; f(3) = 4.

Задача 3. Определите, задаёт ли зависимость y² = x функцию y от x. Нужно проверить, единственное ли значение y получается для каждого допустимого x. Если найдётся хотя бы один аргумент с двумя результатами, условие функции нарушено.

1. Возьмём, например, x = 4. Тогда y² = 4.
2. Это уравнение имеет два решения: y = 2 и y = −2.
3. Одному x соответствуют разные значения y, поэтому зависимость не является функцией y от x.

Ответ: нет, зависимость y² = x не задаёт функцию y от x.

Типичные ошибки

Любая зависимость — функция. Ошибка возникает, если не проверять единственность результата. Проведите проверку: для каждого допустимого x должен находиться ровно один y.

Путаница области определения и множества значений. Их смешивают, потому что оба множества связаны с одной формулой. Спросите себя: речь идёт о разрешённых x или о полученных y?

Недопустимые значения включают в область определения. Например, в дроби иногда забывают исключить ноль в знаменателе, а под корнем оставляют отрицательное число. Подставьте спорное значение в формулу и проверьте, сохраняется ли её математический смысл.

f(x) считают отдельной переменной. Так происходит из-за похожего на переменную обозначения. Помните: f(x) — это результат функции при конкретном аргументе, поэтому f(3) можно вычислить.

Связь с другими темами

До изучения функций нужны навыки работы с координатной плоскостью, формулами, таблицами и множествами. Они помогают записывать пары (x; y), находить значения и понимать ограничения.

Понятие функции станет основой для линейной функции, изучения графиков и их преобразований. Позже те же идеи помогут сравнивать графики и исследовать свойства различных правил.

Функции применяют при решении уравнений и описании зависимостей между величинами. С их помощью строят математические модели движения, стоимости, температуры и других процессов.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие единственное значение y.
• x — аргумент, или независимая переменная; y — значение функции, или зависимая переменная.
• Область определения содержит допустимые значения аргумента.
• Множество значений содержит все результаты работы функции.
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесным правилом.
• На графике функции одной вертикальной прямой не должно быть более одной общей точки с графиком.