5.1 Чтение графиков

Определения и обозначения

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых связаны зависимостью y = f(x). Каждой точке соответствует пара (x; f(x)). График нужен, чтобы видеть зависимость между величинами и исследовать её без подстановки чисел в формулу.

Область определения — все значения аргумента x, для которых функция имеет значение. Иными словами, это все допустимые входные данные функции. Знание области определения помогает понять, при каких x график вообще существует.

Область значений — все значения y, которые принимает функция на своей области определения. Это возможные результаты работы функции. По области значений можно определить, например, достигает ли график отрицательных или только положительных значений.

Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. На графике нулю соответствует точка на оси x, поэтому нуль функции — это абсцисса точки пересечения графика с этой осью. Нули помогают находить решения уравнения f(x) = 0.

Как это устроено

Если задано значение x, его находят на оси абсцисс и проводят вертикаль до графика. Ордината точки пересечения показывает f(x), потому что именно она является второй координатой точки (x; f(x)). Поэтому, например, для поиска f(3) нужно начинать с числа 3 на оси x, а не с оси y.

Если задано значение y, действуют наоборот: находят его на оси ординат и проводят горизонталь до графика. Затем из найденной точки опускают вертикаль к оси x и считывают соответствующий аргумент. Такой способ может дать несколько значений x, если горизонтальная линия пересекает график несколько раз.

Проекция графика на ось x показывает, при каких аргументах существуют его точки. Поэтому она даёт область определения. Проекция на ось y собирает все высоты, на которых располагаются точки графика, и потому показывает область значений.

Пересечение с осью x означает, что ордината точки равна нулю. Абсцисса этой точки является нулём функции. Пересечение с осью y происходит при x = 0, поэтому его ордината показывает значение f(0), если график существует при нулевом аргументе.

Движение по графику слева направо соответствует увеличению x. Если при этом график идёт вверх, значения функции растут, если вниз — уменьшаются, а горизонтальный отрезок означает постоянство. Наибольшее и наименьшее значения можно сравнивать только на указанном участке: продолжение графика за его пределами может изменить результат.

Что можно определить по графику функции

Сначала определите, что именно требуется найти: значение, аргумент, множество допустимых значений или характер изменения. Затем учитывайте направление чтения и масштаб делений на осях. Таблица помогает выбрать правильное действие и не перепутать абсциссу с ординатой.

Разбор задач

Задача 1. Значения функции

Условие. По графику определить значения f(0) и f(3). Предположим, что при x = 0 график проходит через точку с ординатой 3, а при x = 3 — через точку с ординатой 1. Нужно правильно прочитать именно ординаты, а не абсциссы.

1. На оси x найдём число 0 и проведём через него вертикаль до графика.
2. Из точки пересечения проведём горизонталь к оси y и получим y = 3, значит, f(0) = 3.
3. Повторим действия для x = 3: вертикаль приходит к графику на высоте y = 1.

Ответ: f(0) = 3, f(3) = 1. Если точка графика не попадает точно в деление, значение нужно считывать с учётом масштаба или указывать приближённо.

Задача 2. Область определения, область значений и нули

Условие. По изображённому графику требуется найти область определения, область значений и нули функции. График начинается при x = −4 и заканчивается при x = 4, а его наименьшая и наибольшая ординаты равны 0 и 3. Он пересекает ось x в точке с абсциссой −2.

1. Проецируем график на ось x: получаем все x от −4 до 4, то есть область определения [−4; 4].
2. Проецируем график на ось y: видны значения от 0 до 3, поэтому область значений [0; 3].
3. Ищем пересечения с осью x. График касается или пересекает её при x = −2, значит, это нуль функции.

Ответ: область определения — [−4; 4], область значений — [0; 3], нуль функции — −2. Скобки указывают, что крайние точки входят в изображённый график.

Задача 3. Изменение и экстремальные значения

Условие. Нужно определить промежутки возрастания, убывания и постоянства функции, а также её наибольшее и наименьшее значения. По графику слева направо функция растёт на [−4; 0], убывает на [0; 2], а затем остаётся постоянной на [2; 4]. Крайние ординаты графика равны 0 и 3.

1. Разделим график на участки, где направление движения не меняется, и прочитаем их по оси x.
2. На [−4; 0] график поднимается, поэтому функция возрастает; на [0; 2] опускается, поэтому убывает.
3. На [2; 4] график горизонтален, значит, функция постоянна. Сравнив все ординаты, получаем максимум 3 и минимум 0.

Ответ: функция возрастает на [−4; 0], убывает на [0; 2], постоянна на [2; 4]; наибольшее значение равно 3, наименьшее — 0. Вывод относится только к показанному промежутку.

Типичные ошибки

Путать абсциссу и ординату. Ошибка возникает, когда при поиске f(x) считывают заданное число по оси y. Проверьте себя: сначала должен быть задан x, а результат нужно читать по вертикальной координате y.

Считать область определения областью значений. Эти множества называют похожими, поэтому их иногда меняют местами. Проверьте направление проекции: область определения идёт на ось x, область значений — на ось y.

Называть точкой пересечения с осью x значение y = 0. Нуль функции — не сама нулевая ордината, а соответствующее значение x. Чтобы проверить ответ, подставьте его в условие f(x) = 0.

Делать вывод за пределами рисунка. Видимый график не показывает, что происходит дальше, поэтому нельзя утверждать о максимуме или возрастании вне заданного участка. Сверяйте каждый вывод с границами изображённого графика и масштабом осей.

Связь с другими темами

До чтения графиков нужно уметь строить координатную плоскость, находить координаты точки и понимать запись y = f(x). График позволяет исследовать свойства функции без вычислений по формуле. Эти навыки нужны при решении уравнений и неравенств, анализе реальных зависимостей и построении графиков функций.

Что запомнить

• График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)).
• Значение функции находят по вертикали от заданного x к графику.
• Область определения читают по оси x.
• Область значений читают по оси y.
• Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью x.
• Движение графика слева направо показывает возрастание, убывание или постоянство функции.
• Наибольшее и наименьшее значения определяют только на заданном участке графика.