"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Система уравнений помогает решать задачи, в которых несколько неизвестных величин связаны сразу несколькими условиями. Неизвестные обозначают переменными, каждое условие переводят в отдельное уравнение, а затем решают систему. Полученные числа проверяют по смыслу задачи, единицам измерения и исходным данным. Такой способ превращает текстовую задачу в математическую модель и позволяет находить цены, размеры, количества и другие величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неизвестные величины — числовые характеристики ситуации, которые обозначают переменными, например x и y. Выбор букв зависит от того, что требуется найти: это могут быть числа, длины, цены или массы. Рядом с обозначением нужно указать единицу измерения, чтобы не перепутать, например x — цена 1 кг яблок в рублях.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Каждое уравнение передаёт отдельное условие задачи. Система нужна потому, что одной связи обычно недостаточно, чтобы однозначно найти все неизвестные.
Решение системы уравнений — набор значений неизвестных, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара x = 7 и y = 11 является решением только тогда, когда после подстановки верны оба равенства. Поэтому проверять нужно не одно, а все уравнения.
Математическая модель задачи — система уравнений, составленная по условиям задачи и связывающая выбранные неизвестные. Она заменяет длинное описание короткой записью, с которой можно работать вычислительными методами. После решения модели результаты возвращают к реальной ситуации и формулируют ответ.
Сначала определяют, какие величины нужно найти и какие данные связывают их между собой. Эти величины обозначают буквами, потому что работать с переменными удобнее, чем каждый раз повторять длинные названия. Пояснение выбора помогает сохранить один и тот же смысл букв на всех этапах решения.
Затем каждое независимое условие переводят в уравнение. Например, слова о сумме дают запись x + y = 18, а условие о разности — x − y = 4, если x больше y. Получается система, потому что оба равенства описывают одну и ту же ситуацию и должны выполняться одновременно.
Систему решают известным способом: подстановкой, сложением или другим изученным приёмом. В результате получают возможные значения неизвестных, но пока это только кандидаты на ответ. Такой промежуточный статус нужен потому, что алгебраическая система может допустить числа, которые не подходят реальной задаче.
После вычислений подставляют найденные значения в исходные условия и оценивают их смысл. Проверяют ограничения, например положительность длины и цены, соответствие единиц измерения и то, что именно спрашивалось. Если проверка не проходит, следует искать ошибку в составлении модели или вычислениях, а не менять ответ наугад.
Таблица показывает общий порядок работы с любой текстовой задачей. Двигайтесь сверху вниз и не пропускайте проверку: она отделяет решение системы от окончательного ответа. В последнем столбце указано, какой результат должен получиться на каждом этапе.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор неизвестных | Обозначить искомые величины буквами и пояснить их смысл | Понятны единицы измерения и не меняется смысл переменных |
| Перевод условий в уравнения | Составить отдельное уравнение по каждому независимому условию | Все данные задачи использованы без искажения |
| Решение системы | Найти значения всех неизвестных удобным способом | Оба уравнения дают верные равенства после подстановки |
| Проверка по условию | Сопоставить числа с исходным текстом и ограничениями | Значения допустимы и имеют нужный смысл |
| Запись ответа | Ответить на вопрос задачи словами и указать единицы | Названы именно те величины, которые требовалось найти |
Условие: сумма двух чисел равна 18, а одно число на 4 больше другого. Нужно найти числа. Обозначим большее число через x, а меньшее через y.
Ответ: числа 11 и 7. Проверка даёт 11 + 7 = 18 и 11 − 7 = 4, поэтому оба условия выполнены.
Условие: периметр прямоугольника равен 34 см, а длина на 5 см больше ширины. Обозначим длину через x см, а ширину через y см.
Ответ: длина прямоугольника 11 см, ширина 6 см. Обе стороны положительны, а периметр равен 2 · 11 + 2 · 6 = 34 см.
Условие: за 3 кг яблок и 2 кг груш заплатили 460 рублей, а за 2 кг яблок и 4 кг груш — 560 рублей. Пусть x — цена 1 кг яблок, а y — цена 1 кг груш.
Ответ: 1 кг яблок стоит 90 рублей, а 1 кг груш — 95 рублей. Проверка: 3 · 90 + 2 · 95 = 460 и 2 · 90 + 4 · 95 = 560.
Неизвестные обозначают без пояснений или меняют их смысл по ходу решения. Так происходит, когда ученик сразу пишет буквы и забывает, какая из них означает длину, цену или количество. Проверьте себя: рядом с каждой переменной должна быть короткая запись её смысла и единицы измерения.
Иногда составляют уравнение только по одному условию или неверно понимают слова на 4 больше и в 4 раза больше. Первая фраза означает прибавление 4, а вторая — умножение на 4. Прочитайте каждое условие отдельно и убедитесь, что ему соответствует своё уравнение.
Решение системы автоматически принимают за ответ задачи. Числа могут нарушать ограничения: длина не бывает отрицательной, а цена не должна иметь неподходящий смысл. Подставьте результат в оба исходных условия и проверьте допустимость величин.
В конце записывают только числа, не объясняя, что они означают. Такой ответ неполон, особенно если в задаче есть разные единицы измерения. Сверьте его с вопросом и добавьте названия величин и нужные единицы.
До этой темы нужно уметь обозначать неизвестные переменными и решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Эти навыки позволяют сосредоточиться не на вычислительном способе, а на правильном составлении модели. Если система решается с ошибками, ответ задачи тоже будет неверным.
Решение начинается с чтения условия и перевода отношений между величинами в равенства. Поэтому пригодятся действия с числами, понимание разности, произведения, стоимости и формул. Чем точнее прочитан текст, тем надёжнее математическая запись.
Приём используют в задачах по геометрии, движению, покупкам и совместной работе. Он показывает, как реальные связи превращаются в математическую модель. Позже этот подход пригодится при изучении более сложных моделей и прикладных задач.
Как понять, какие величины выбрать за неизвестные?
Выбирайте величины, которые требуется найти и которые удобно связать условиями задачи. Сразу запишите, что обозначает каждая переменная, и укажите единицы измерения.
Почему для решения задачи составляют систему, а не одно уравнение?
В задаче обычно есть несколько независимых условий, и каждое даёт своё уравнение. Система объединяет эти уравнения, поэтому найденные значения должны удовлетворять всем условиям одновременно.
Как перевести условие задачи в уравнение?
Найдите в тексте связь между величинами: сумму, разность, произведение, стоимость или другую зависимость. Затем замените величины выбранными переменными и запишите равенство.
Нужно ли проверять найденные значения в исходной задаче?
Да, обязательно. Проверка показывает, выполняются ли все условия, подходят ли числа по смыслу и правильно ли указаны единицы измерения.
Что делать, если решение системы не подходит по смыслу задачи?
Проверьте перевод условия в уравнения, вычисления и обозначения переменных. Если модель составлена верно, отберите только те значения, которые отвечают ограничениям задачи.
4.6 Решение задач с помощью систем уравнений
