4.5 Решение систем уравнений способом подстановки

Определения и обозначения

Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же неизвестными. Например, запись с фигурной скобкой объединяет два равенства для x и y. Это понятие нужно, чтобы искать не отдельное решение каждого уравнения, а общую пару, подходящую всем условиям сразу.

Решение системы — пара значений неизвестных, при подстановке которой оба уравнения становятся верными равенствами. Пару обычно записывают так: (x; y), то есть сначала значение x, затем значение y. Такое определение помогает отличить решение системы от числа, найденного только из одного уравнения.

Способ подстановки — метод, при котором из одного уравнения выражают одну неизвестную и подставляют её выражение в другое уравнение. Например, вместо y можно записать 7 − x. Метод нужен для того, чтобы заменить систему уравнением с одной неизвестной.

Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При правильном выражении переменной, подстановке и обратных вычислениях система заменяется более простой, но решения не теряются. Поэтому преобразования можно выполнять поэтапно, сохраняя смысл задачи.

Как это устроено

Проверять решение нужно сразу в обоих уравнениях, потому что каждое из них задаёт своё условие. Пара может сделать первое равенство верным, но нарушить второе, и тогда она не является решением системы. Подстановка в оба исходных уравнения показывает, выполнены ли все условия одновременно.

Для начала удобнее выбрать уравнение, где коэффициент при одной неизвестной равен 1 или −1. Например, из x + y = 7 легко получить x = 7 − y, не выполняя деление и не усложняя дроби. Выразить можно и другую переменную, но короткая запись уменьшает число действий и вероятность ошибки.

После выражения одной переменной её заменяют полученной формулой во втором уравнении. Например, если x = 7 − y, то вместо x во втором равенстве пишут 7 − y. Неизвестная x исчезает, поэтому получается уравнение только с y; это и есть главное упрощение способа подстановки.

Решив уравнение с одной неизвестной, получают пока только одно значение, например y = 3. Его подставляют обратно в формулу x = 7 − y и находят x = 4. Затем пару (4; 3) проверяют в исходной системе, поскольку обратное вычисление само по себе ещё не заменяет проверку.

Каждый шаг сохраняет множество решений: выражение переменной заменяет равносильное ей равенство, а подстановка использует это равенство без изменения условия. Если при преобразовании пришлось делить на выражение с переменной, нужно отдельно убедиться, что оно не равно нулю. В конце обязательно записывают именно пару значений в согласованном порядке и проверяют её в обоих исходных уравнениях.

Этапы решения системы способом подстановки

Таблицу удобно использовать как маршрут решения: переходить к следующей строке следует только после выполнения предыдущей. Если уравнение с одной неизвестной дало несколько корней, этапы 5 и 6 выполняют для каждого корня. Последняя проверка помогает обнаружить потерянный знак, скобку или перепутанный порядок пары.

Разбор задач

Задача 1. Система x + y = 7; x − y = 1

В первом уравнении коэффициенты при обеих переменных равны 1, поэтому выразить можно любую из них. Выберем x, чтобы получить x = 7 − y и подставить эту формулу во второе равенство. После нахождения y восстановим x и проверим обе строки системы.

1. Из первого уравнения: x = 7 − y.
2. Подставляем во второе: (7 − y) − y = 1, значит 7 − 2y = 1 и y = 3.
3. Находим x: x = 7 − 3 = 4.
4. Проверка: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1.

Ответ: (4; 3).

Задача 2. Система 2x + y = 8; x − 2y = −1

В первом уравнении при y стоит коэффициент 1, поэтому его удобно выразить сразу. Подстановка сведёт второе равенство к линейному уравнению только с x. Затем найденное x нужно вернуть в формулу для y.

1. Из первого уравнения: y = 8 − 2x.
2. Подставляем во второе: x − 2(8 − 2x) = −1, откуда x − 16 + 4x = −1 и 5x = 15.
3. Получаем x = 3, затем y = 8 − 2 · 3 = 2.
4. Проверка: 2 · 3 + 2 = 8 и 3 − 2 · 2 = −1.

Ответ: (3; 2).

Задача 3. Система y = x² − 1; x + y = 5

Здесь y уже выражена через x, поэтому дополнительное преобразование не требуется. Подставим выражение во второе уравнение и решим квадратное уравнение. У него могут быть два корня, поэтому каждый корень даст отдельную пару, если после вычисления y проверка пройдена.

1. Подстановка: x + x² − 1 = 5, значит x² + x − 6 = 0.
2. Разложим: (x + 3)(x − 2) = 0, поэтому x = −3 или x = 2.
3. При x = −3 получаем y = 9 − 1 = 8; при x = 2 получаем y = 4 − 1 = 3.
4. Проверка: −3 + 8 = 5 и 2 + 3 = 5; первые уравнения также дают y = 8 и y = 3.

Ответ: (−3; 8), (2; 3).

Типичные ошибки

Потеря скобок. После подстановки выражение вроде 8 − 2x нужно заключать в скобки, особенно если перед ним стоит минус или множитель. Ошибку часто допускают, потому что мысленно заменяют переменную, но забывают, что заменяется всё выражение. Проверьте раскрытие по правилам: множитель умножается на каждый член в скобках.

Одна переменная принята за решение. Значение x или y, найденное из уравнения после подстановки, ещё не является решением системы. Оно лишь помогает вычислить вторую неизвестную по полученной формуле. Запишите рядом исходное выражение и подставьте в него найденное число.

Перепутан порядок пары или пропущена проверка. Запись (y; x) меняет смысл ответа, если требовалось указать (x; y), а отсутствие проверки скрывает арифметическую ошибку. Так происходит, когда решение заканчивают сразу после последнего вычисления. Подставьте пару в оба исходных уравнения и сверяйте первую координату с x, вторую — с y.

Отброшен один корень. Квадратное уравнение после подстановки может иметь два корня, и каждый из них способен дать своё решение системы. Один корень иногда ошибочно считают лишним только потому, что хочется получить одну пару. Найдите вторую переменную для каждого корня и исключайте результат только после проверки в исходной системе.

Связь с другими темами

До решения подстановкой нужно уметь выражать одну переменную через другую, переносить слагаемые, раскрывать скобки и решать линейные уравнения. Эти действия образуют отдельные шаги алгоритма, поэтому ошибка в любом из них меняет результат системы.

Способ подстановки применяется не только к системам линейных уравнений. Он помогает решать некоторые нелинейные системы, когда одно уравнение уже содержит удобное выражение, а также переводить условия текстовых задач в математическую модель.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять каждому её уравнению.
• В способе подстановки одну неизвестную выражают через другую.
• Выражение подставляют во второе уравнение вместо соответствующей неизвестной.
• После решения уравнения с одной неизвестной находят значение второй.
• Каждую найденную пару проверяют в исходной системе.
• Если после подстановки получено несколько корней, проверяют каждый из них.