5.3 График функции

Определения и обозначения

График функции — множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. Иными словами, он показывает все допустимые пары аргумента и соответствующего значения функции. По графику удобно исследовать зависимость между величинами.

Точка графика функции — точка (x; y), для которой y = f(x). Чтобы проверить принадлежность точки графику, достаточно подставить её абсциссу x в формулу и сравнить полученный результат с y. Это позволяет строить график и проверять уже нанесённые точки.

Таблица значений функции — запись соответствующих значений аргумента и функции. В одной строке или столбце указывают выбранные x, а рядом вычисляют y = f(x). Такая таблица превращает формулу в набор координат, по которым можно начать построение.

Чтение графика функции — определение по графику значений функции, аргументов и решений уравнений или неравенств. Для этого используют проекции точек на оси координат. Такой способ помогает получать ответ непосредственно из рисунка, не выполняя каждый раз вычисления по формуле.

Как это устроено

В записи точки графика стоят координаты (x; f(x)), потому что функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие его значение. Первая координата показывает, какое значение выбрали для x, а вторая — какой результат получили по формуле. Одному x нельзя сопоставить сразу два разных y, иначе это уже не была бы функция.

Чтобы составить таблицу, сначала выбирают значения x из области определения. Затем каждое значение подставляют в формулу и аккуратно вычисляют y. Например, для y = 2x − 1 при x = 0 получаем y = −1, поэтому в таблице появляется пара (0; −1), то есть точка графика.

Полученные пары координат наносят на плоскость: сначала находят x по горизонтальной оси, затем поднимаются или опускаются до нужного y. После этого точки соединяют линией, если формула задаёт непрерывную зависимость. Для прямой достаточно провести линию через подходящие точки, а для кривой нужно передать её плавное изменение, а не просто механически соединить соседние точки.

Масштаб выбирают так, чтобы точки помещались на листе и расстояния между делениями было легко сравнивать. Значения x берут не случайно: полезно выбрать ноль, противоположные числа и точки, в которых вычисления просты или график меняет поведение. Если форма графика сложная, добавляют промежуточные точки, чтобы не пропустить изгибы и участки быстрого изменения.

Чтобы найти значение функции при известном x, от нужной точки на оси Ox мысленно проводят вертикаль до графика, а затем горизонталь к оси Oy. Нули функции находят по пересечениям с осью Ox, потому что на ней y = 0. Если график выше оси Ox, функция положительна, если ниже — отрицательна; пересечения с горизонтальной линией y = a дают решения уравнения f(x) = a.

Основные действия при построении и чтении графика функции

Таблица показывает общий порядок работы с графиком. Её можно использовать как короткий алгоритм: идти сверху вниз при построении и в обратную сторону — при проверке или чтении результата.

Разбор задач

1. Построение линейной функции

Условие: построить график функции y = 2x − 1 по таблице значений для x = −2, −1, 0, 1, 2. Формула линейная, поэтому график должен иметь вид прямой. Вычислим несколько пар координат и проверим их взаимное расположение.

1. Подставим x = −2: y = 2 · (−2) − 1 = −5.
2. Аналогично получим значения −3, −1, 1 и 3 при x = −1, 0, 1 и 2.
3. Нанесём точки (−2; −5), (−1; −3), (0; −1), (1; 1), (2; 3) на координатную плоскость.
4. Проведём через них прямую, поскольку при изменении x на 1 значение y каждый раз увеличивается на 2.

Ответ: график — прямая, проходящая через перечисленные точки.

2. Чтение параболы

Условие: по графику функции y = x² − 4 определить нули функции, значение при x = 3 и значения x, при которых функция отрицательна. Здесь удобно использовать и формулу, и положение параболы относительно оси Ox. Сначала найдём ключевые точки, а затем опишем нужные промежутки.

1. Нули находятся из условия x² − 4 = 0, откуда x² = 4 и x = −2 или x = 2.
2. При x = 3 получаем y = 3² − 4 = 5.
3. Функция отрицательна там, где парабола расположена ниже оси Ox, то есть между её пересечениями: −2 < x < 2.

Ответ: нули функции −2 и 2; f(3) = 5; функция отрицательна при −2 < x < 2.

3. Сдвиг графика

Условие: построить в одной системе координат графики y = x² и y = x² + 2 и описать изменение. Сравним значения функций при одном и том же x, чтобы понять, куда переместились точки. Это надёжнее, чем пытаться определить сдвиг только по внешнему виду.

1. Для каждого x значение второй функции на 2 больше: x² + 2 = x² + 2.
2. Значит, каждая точка (x; x²) перемещается вертикально вверх на 2 единицы, а её абсцисса не меняется.
3. Вершина первой параболы находится в точке (0; 0), а второй — в точке (0; 2); ветви и форма остаются такими же.

Ответ: график y = x² + 2 получается из графика y = x² параллельным переносом вверх на 2 единицы.

Типичные ошибки

Первая ошибка — менять местами координаты и откладывать значение функции по оси Ox. Так происходит, когда ученик не различает аргумент и результат; проверяйте себя чтением пары как «сначала x, потом y».

Вторая ошибка — соединять точки отрезками без анализа поведения нелинейной функции. Из-за этого парабола или другая кривая может превратиться в ломаную; сравните полученную линию с формулой и добавьте промежуточные точки.

Третья ошибка — брать x вне области определения. Обычно это случается при невнимательной проверке ограничений; перед вычислениями выпишите допустимые значения аргумента.

Четвёртая ошибка — при чтении графика принимать одну координату за другую. Нужно провести мысленную вертикаль от заданного x к графику, а затем горизонталь к Oy, либо выполнить обратный порядок для поиска x.

Связь с другими темами

До построения графиков нужно уметь работать с координатной плоскостью, отмечать точки и различать функцию, аргумент и значение функции. Эти навыки понадобятся при изучении линейной и квадратичной функций, исследовании их свойств, а также при решении уравнений и неравенств графическим способом.

График связывает алгебраическую формулу с геометрической картиной зависимости. Поэтому по одной записи можно не только вычислять значения, но и видеть возрастание, убывание, нули и знак функции.

Что запомнить

• График функции состоит из точек (x; f(x)).
• Аргумент откладывают по оси Ox, а значение функции — по оси Oy.
• Каждому допустимому значению x соответствует одна точка графика по вертикали.
• Таблица значений помогает получить точки для построения графика.
• Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.
• По графику можно находить значения функции и решать уравнения.
• При построении необходимо учитывать область определения и характер изменения функции.